2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 11:40 


03/02/12

530
Новочеркасск
того факта (найденного перебором), что отношение разности любых соседних кубов к разности любых соседних квадратов в области натуральных чисел не может быть числом вида $6k-1$?

Прошу прощения! Исправил...

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
[deleted]

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Там слово "любых" фигурирует дважды. Я думаю, это не случайно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 12:44 


26/08/11
2057
Можно было сказать проще. Верно более общее утверждение: Все нечетные простые делители $a^2+ab+b^2,\quad a,b \in \mathbb{N}$ имеют вид $6k+1$ (в вашем частном случае $b=a+1$)
И на dxdy рассматривались такие формы, вот здесь публикация по теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 12:51 


03/02/12

530
Новочеркасск
Shadow
спасибо за ссылку, но у меня не только простые, а все такого вида... :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну это уже просто: если все простые такого вида, то и вообще все будут такого вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 13:06 


26/08/11
2057
alexo2 Там Теорема 13 посмотрите. И теорема 16.Конечно, забыл $\gcd(a,b)=1$И все простые $p>3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 13:17 
Аватара пользователя


27/03/09
35
Москва
Вот простейшее доказательство только для части случаев.

Пусть $a$ и $b$ - случайные натуральные числа, удовлетворяющие условию делимости разности соответствующих кубов и квадратов:
$A=(a+1)^3-a^3=3a^2+3a+1$,
$B=(b+1)^2-b^2=2b+1$ и $B|A$

Требуется доказать, что $A/B \neq 6k-1$

Заметим, что для доказательства, можно рассматривать оба представления:
$6k-1$ и $6k+5$.

Предположим обратное: $A/B = 6k-1$, тогда получим, что

$A=B(6k-1)$
$3a^2+3a+1=(2b+1)(6k-1)$
$3a(a+1)=12bk+6k-2b-2$
Перегруппировав, получим
$3a(a+1)=6(2bk+k)-2(b+1)$

Левая часть делится без остатка на 6, а правая, учитывая, что обратное требованию исходной задачи предположение может быть верно, делится без остатка на 6 только в том случае, если $ b \equiv 2 \pmod 3 $.

Таким образом, получаем, что $B=2(3b_1-1)+1=6b_1-1$, что противоречит произвольному выбору начального $b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 13:47 


26/08/11
2057
Алекс77, нет, используете одну и ту же букву $b$
Алекс77 в сообщении #896101 писал(а):
$B=(b+1)^2-b^2=2b+1$

Алекс77 в сообщении #896101 писал(а):
если $ b \equiv 2 \pmod 3 $.
Алекс77 в сообщении #896101 писал(а):
$B=2(3b-1)+1=6b-1$.

Нет, $B=2(3k-1)+1=6k-1$ - никакое противоречие, конечно, и так понятно, что задача сводится к: имеет ли $3a^2+3a+1$ делители вида $3k-1$ Естественно, что если один множитель имеет такой вид, то и другой тоже должен иметь такой вид, т.к $3a^2+3a+1 \equiv 1\pmod 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 14:14 
Аватара пользователя


27/03/09
35
Москва
Shadow, обновил запись, более строго записал условия, расширил вывод для более простого восприятия :wink:
И прошу еще раз обратить внимание на тот факт, что слово любые в задаче упомянуто дважды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 14:27 


03/02/12

530
Новочеркасск
Алекс77 в сообщении #896120 писал(а):
И прошу еще раз обратить внимание на тот факт, что слово любые в задаче упомянуто дважды.


Чтобы было понятнее, что имелось ввиду, несколько перефразирую:
$(a+1)^3-a^3 = c((b+1)^2-b^2)$
не имеет решений в натуральных числах, если
$c = 6k-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли простое доказательство..
Сообщение14.08.2014, 14:30 


26/08/11
2057
Алекс77, раньше было лучше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group