2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 делители нуля при локализации кольца
Сообщение13.08.2014, 11:50 


06/12/13
274
Помогите проверить правильность рассуждения: мультипликативная система $S$ кольца $R$ регулярна, если она не содержит нуля. Возьмем нерегулярную систему и локализуем кольцо по этой системе, получаем кольцо частных $S^{-1}R.$ Локализация кольца по мультипликативной системе - это формальное обращение всех ее элементов. Следовательно, делителя нуля нерегулярной системы $S$ становятся в кольце $S^{-1}R$ обратимыми, а, значит, уже не являются делителями нуля в кольце $S^{-1}R.$

-- 13.08.2014, 13:47 --

А вот доказать "в лоб" уже не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение13.08.2014, 13:46 


06/12/13
274
Вообще, я наверное, поставила не совсем корректный вопрос. Так как гомоморфизм $\varphi:R\rightarrow S^{-1}R,\;r\mapsto r/1$ в этом случае вложением не является. Однако, все равно хочется разобраться в структуре кольца $S^{-1}R$ при нерегулярной системе $S.$

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение13.08.2014, 17:37 
Заслуженный участник


14/03/10
867
OlgaD в сообщении #895810 писал(а):
Однако, все равно хочется разобраться в структуре кольца $S^{-1}R$ при нерегулярной системе $S.$
Иными словами, хочется понять, что будет, если разрешить делить на ноль? Думаю, в этом нет никакого смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение13.08.2014, 17:39 


06/12/13
274
Кто сказал про деление на ноль? Просто хочу понять как выглядит кольцо частных по нерегулярной мультипликативной системе. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение13.08.2014, 18:41 
Заслуженный участник


14/03/10
867
OlgaD в сообщении #895858 писал(а):
Просто хочу понять как выглядит кольцо частных по нерегулярной мультипликативной системе. :-)
ну я говорю, если рассматривать такую локализацию, то нуль в ней будет обратим по умножению. А единственное кольцо, в котором нуль обратим - это $\{0\}$. Так и выглядит Ваше кольцо частных, если, конечно, вообще есть смысл определять его в этом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение13.08.2014, 19:19 


06/12/13
274
На самом деле все немножко хитрее. Я нашла много интересного по этому вопросу в книге Зарисский, Самюэль Коммутативная алгебра.

Вы же не утверждаете, что локализация кольца возможна только относительно регулярной системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение13.08.2014, 22:34 
Заслуженный участник


14/03/10
867
OlgaD в сообщении #895875 писал(а):
Вы же не утверждаете, что локализация кольца возможна только относительно регулярной системы?
я ничего не утверждаю, я только хочу понять пока, в чем Ваш вопрос. Можете еще раз его сформулировать? И к тому же, вроде бы обычно регулярной называют такую мультипликативную систему, которая не содержит делителей нуля, и потому вовсе не обязательно, что
OlgaD в сообщении #895797 писал(а):
мультипликативная система $S$ кольца $R$ регулярна, если она не содержит нуля

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение14.08.2014, 07:26 


06/12/13
274
а поняла...это я, конечно, опечаталась. Имелась в виду нерегулярная система $S,$ содержащая хотя бы один делитель нуля. Поскольку при локализации в кольце частных все элементы системы $S$ должны стать обратимыми, мне было непонятно как же быть с делителями нуля. Оказывается здесь немного другая конструкция.

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение15.08.2014, 14:32 


06/12/13
274
Кстати о моей опечатке в первом сообщении. У Ленга отмечается, что если $0\in S,$ то $S^{-1}R$ содержит ровно один элемент, а именно $0/1.$ Что кольцо $S^{-1}R$ состоит из одного элемента понятно: в этом случае все пары $(r,s)\in R\times S$ будут эквивалентны друг другу. А вот почему класс эквивалентности обозначили именно $0/1?$

И еще один вопрос: локализации по простому идеалу и по элементу можно рассматривать в произвольном кольце или только в области целостности?

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение15.08.2014, 20:36 
Заслуженный участник


14/03/10
867
OlgaD в сообщении #896439 писал(а):
И еще один вопрос: локализации по простому идеалу и по элементу можно рассматривать в произвольном кольце или только в области целостности?
ну в произвольном коммутативном кольце можно, а что мешает? Кстати, локализацией кольца $R$ по простому идеалу $I$ называется $(R\setminus I)^{-1}R$ (в частности, $R\setminus I$ будет мультипликативным множеством), поэтому на нуль делить нам точно не придется :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение16.08.2014, 07:02 


06/12/13
274
это я уже поняла :P В общем, подводя итог моему вопросу о локализации по нерегулярной системе $S,$ поступаем так: "выкидываем" из нее делители нуля, переходя от кольца $R$ к кольцу $R/I_S.$ Это кольцо целостно, а следовательно, все мультипликативные системы регулярны, в том числе и система $\overline{S}=(S+I_S)/I_S.$ Тогда кольцо частных $S^{-1}R$ - это локализация вида $\overline{S}^{-1}(R/I_S).$ Вроде бы так...

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение17.08.2014, 19:21 


06/12/13
274
Подскажите, пожалуйста, никак не могу сообразить. Пусть у нас есть гомоморфизм колец (коммутативных с единицей) $f:R\rightarrow T$ с ядром $\operatorname{Ker}f\ne(0).$ Утверждается, что $f$ определяет гомоморфизм $f':R/\operatorname{Ker}f\rightarrow T.$ Что это за гомоморфизм $f'$ и как он действует?

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение17.08.2014, 19:25 
Заслуженный участник


14/03/10
867
OlgaD в сообщении #896933 писал(а):
$f$ определяет гомоморфизм $f':R/\operatorname{Ker}f\rightarrow T.$ Что это за гомоморфизм $f'$ и как он действует?
Ну $f'$ переводит $r+\operatorname{Ker}f$ в $f(r)$, а как еще? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение17.08.2014, 19:27 


10/02/11
6786
$f'$ это гомоморфизм или изоморфизм?

 Профиль  
                  
 
 Re: делители нуля при локализации кольца
Сообщение17.08.2014, 19:31 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Oleg Zubelevich в сообщении #896936 писал(а):
$f'$ это гомоморфизм или изоморфизм?
это инъективный (но не обязательно сюръективный) гомоморфизм

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group