2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение23.09.2014, 16:42 


31/03/06
1384
Временно, пусть $x$ и $y$ - аргумент и значение исследуемой функции.
Пусть $y=(x+1)((x^2-14 x+5+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16$
Найдём производную этой функции:

Код:
y:=(x+1)*((x^2-14*x+5+4*sqrt(x*(-x^2+10*x-5)))/(x-1)^2-1)+16;
df(y, x);


Получим:

$y'=2 (16 x \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}-x^4+6 x^3-52 x^2+10 x+5)/((x-1)^3 \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x})$.

Пусть $f(x)=x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5$.
Покажем, что если $x>0.5$, то $f(x)>0$.
Имеем: $f(x+0.5)=(16 x^4-64 x^3+712 x^2+608 x+37)/16$
Это получается следующим кодом:
Код:
(x+0.5)^4-6*(x+0.5)^3+52*(x+0.5)^2-10*(x+0.5)-5;
.
Если $0<x<10$, то $712 x^2>64 x^3$, следовательно $f(x+0.5)>0$.
Если $x>4$, то $16 x^4>64 x^3$, следовательно $f(x+0.5)>0$.
Значит, $f(x+0.5)>0$ для любого $x>0$.
Что и требовалось.

Имеем:

$y'=2 (256 x^2 (-x^3+10 x^2-5 x)-(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)^2)/((x-1)^3 \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x} (16 x \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}+(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)))$.

Полином в числителе равен $2 (-x^8+12 x^7-140 x^6+388 x^5-254 x^4-300 x^3+420 x^2-100 x-25)=2 (x-1)^3 (-x^5+9 x^4-110 x^3+30 x^2+175 x+25)$.
Это получается следующим кодом:

Код:
z:=256*x^2*(-x^3+10*x^2-5*x)-(x^4-6*x^3+52*x^2-10*x-5)^2;
z/(x-1)^3;


Значит $y'=2 (-x^5+9 x^4-110 x^3+30 x^2+175 x+25)/(\sqrt{-x^3+10 x^2-5 x} (16 x \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}+(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)))$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение23.09.2014, 22:30 


31/03/06
1384
Если $x>0.5$, то знаменатель этого выражения производной больше нуля, поскольку мы показали, что $x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5>0$.
Полином в числителе делится на $x+1$.
Имеем: $-x^5+9 x^4-110 x^3+30 x^2+175 x+25=(x+1) (-x^4+10 x^3-120 x^2+150 x+25)$
Пусть $f(x)=-x^4+10 x^3-120 x^2+150 x+25$.

Тогда

$f(x+0.5)=(-16 x^4+128 x^3-1704 x^2-592 x+1139)/16$,

$f(x+1.5)=(-16 x^4+64 x^3-1416 x^2-2496 x+139)/16$,

$f(x+1.6)=(-625 x^4+2250 x^3-54600 x^2-108490 x-4871)/625$.

Это получается следующим кодом:

Код:
-(x+0.5)^4+10*(x+0.5)^3-120*(x+0.5)^2+150*(x+0.5)+25;
-(x+1.5)^4+10*(x+1.5)^3-120*(x+1.5)^2+150*(x+1.5)+25;
-(x+1.6)^4+10*(x+1.6)^3-120*(x+1.6)^2+150*(x+1.6)+25;


Члены полинома $f(x+1.5)$ меняют знак 3 раза, а полинома $f(x+1.6)$ - 2 раза, следовательно, согласно теореме Бюдана, полином $f(x)$ имеет один корень между $1.5$ и $1.6$.
Члены полинома $f(x+0.5)$ меняют знак 3 раза, и полинома $f(x+1.5)$- 3 раза, следовательно, согласно теореме Бюдана, полином $f(x)$ не имеет корней между $0.5$ и $1.5$.

Если $0<x<10$, то $54600 x^2>2250 x^3$, а если $x \ge 10$, то $625 x^4>2250 x^3$.
Следовательно, если $x>0$, то $f(x+1.6)<0$.

Значит, полином $f(x)$ имеет единственный положительный корень, который находится между $1.5$ и $1.6$.
Одна из программ, вычисляющих корни полиномов, выдала для этого корня следующее значение:

$x=1.55403658229985$.

Найдём выражения для $f(x+1.55403658229984)$ и $f(x+1.55403658229985)$:

Код:
-(x+1.55403658229984)^4+10*(x+1.55403658229984)^3-120*(x+1.55403658229984)^2+150*(x+1.55403658229984)+25;
-(x+1.55403658229985)^4+10*(x+1.55403658229985)^3-120*(x+1.55403658229985)^2+150*(x+1.55403658229985)+25;


Получим два полинома, члены первого из которых меняют знак 3 раза, а второго - 2 раза.
Следовательно, согласно теореме Бюдана, полином $f(x)$ имеет корень между $1.55403658229984$ и $1.55403658229985$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение23.09.2014, 23:34 


31/03/06
1384
Исправление:

Цитата:
$f(x+0.5)=(-16 x^4+128 x^3-1704 x^2-592 x+1139)/16$,


исправляется на:

Цитата:
$f(x+0.5)=(-16 x^4+128 x^3-1704 x^2+592 x+1139)/16$,

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение24.09.2014, 08:43 


31/03/06
1384
Обозначим положительный корень полинома $f(x)=-x^4+10 x^3-120 x^2+150 x+25$ через $x_0$.
Мы показали, что $x_0$ находится между $1.55403658229984$ и $1.55403658229985$.
Поскольку $f(0.5)=1139/16>0$, то $f(x)>0$ на интервале $(5-2 \sqrt{5}, x_0)$.
Поскольку $f(1.6)=-4871/625<0$ и $x_0$ - единственный положительный корень полинома $f(x)$, то $f(x)<0$ на интервале $(x_0, 5+2 \sqrt{5})$.

Следовательно $y'>0$ на интервале $(5-2 \sqrt{5}, x_0)$, и $y'<0$ на интервале $(x_0, 5+2 \sqrt{5})$.
Значит, функция $y=(x+1)((x^2-14 x+5+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16$ возрастает на интервале $(5-2 \sqrt{5}, x_0)$ и убывает на интервале $(x_0, 5+2 \sqrt{5})$.
Вычислим значение максимума этой фунцкии в точке $x_0$:

Код:
x0=1.55403658229984
print (x0+1)*((x0^2-14*x0+5+4*sqrt(x0*(-x0^2+10*x0-5)))/(x0-1)^2-1)+16


Получим: $12.383873118831547879$.

Покажем, что на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$, $|y'|<1000$.
Имеем: $y'=2 (16 x \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}-x^4+6 x^3-52 x^2+10 x+5)/((x-1)^3 \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x})$.
Имеем: $(x-1)^3>0.5^3$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Поскольку $|(-x^3+10 x^2-5 x)'|=|-3 x^2+20 x-5|<3 x^2+20 x+5<3 \cdot 2^2+20 \cdot 2+5= 49$ при $0<x<2$, то $|(-x^3+10 x^2-5 x)-(-x_1^3+10 x_1^2-5 x_1)|<0.001 \cdot 49<1$ на интервале $(x_1-0.001, x_1+0.001)$, где $x_1=1.55403658229984$.
Поскольку $-x_1^3+10 x_1^2-5 x_1=12.6270695799798337659$, то $9<-x^3+10 x^2-5 x<16$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Следовательно, $3<\sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}<4$ на этом интервале.
Поскольку
$|(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)'|=|4 x^3-18 x^2+104 x-10|<4 x^3+18 x^2+104 x+10<4 \cdot 2^3+18 \cdot 2^2+104 \cdot 2+10=322$
при $0<x<2$, то $|(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)-(x_1^4-6 x_1^3+52 x_1^2-10 x_1-5)|<0.001 \cdot 322<1$ на интервале $(x_1-0.001, x_1+0.001)$.
Поскольку $x_1^4-6 x_1^3+52 x_1^2-10 x_1-5=-5$ при $x_1=1.55403658229984$, то $-7<x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5<-3$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Значит, $|y'|<2 (16 \cdot 2 \cdot 4+7)/(0.5^3 \cdot 3)=720$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Значит, $|y'|<1000$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Что и требовалось.
Это очень грубая оценка абсолютной величины производной в окрестности точки $x_0$, но вполне достаточная для того, чтобы утверждать, что значение функции $y$ меньше 13 в точке $x_0$ и, значит, на всём интервале $(5-2 \sqrt{5}, 5+2 \sqrt{5})$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение24.09.2014, 15:16 


31/03/06
1384
Я заметил, что:

$(x+1)((x^2-14 x+5)/(x-1)^2-1)+16=4 (x^2-10 x+5)/(x-1)^2$ и

$(x-1)((x^2-14 x+5)/(x-1)^2+1)+16=2 (x^2-5)/(x-1)$.

Эти преобразования позволяют не оценивать функции $(x+1)((x^2-14 x+5 \pm 4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16$ и $(x-1)((x^2-14 x+5 \pm \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2+1)+16$, как мы начали делать в предыдущих сообщениях.
Вместо этого, можно оценивать отношения

$\frac{(x+1)((x^2-14 x+5+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16}{(x+1)((x^2-14 x+5-4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16}$ и

$\frac{(x-1)((x^2-14 x+5+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2+1)+16}{(x-1)((x^2-14 x+5-4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2+1)+16}$,

что нам и нужно.

Эти отношения преобразуются к виду:

$\frac{4 (x^2-10 x+5)+4 (x+1) \sqrt{x (-x^2+10 x-5)}}{4 (x^2-10 x+5)-4 (x+1) \sqrt{x (-x^2+10 x-5)}}$ и

$\frac{2(x^2-5)+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)}}{2(x^2-5)-4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)}}$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение24.09.2014, 18:52 


31/03/06
1384
Знаменатель второго отношения равен нулю при $x=5$, поэтому нельзя сделать то, что я собирался:

Цитата:
В дальнейшем мы собираемся доказать, что если $b_2$ не находится вблизи от $5+2 \sqrt{5}$, то $(b'_1-1)(b_2+1)+16$ и $(b'_1+1)(b_2-1)+16$ не находятся вблизи от нуля.


Пока непонятно, может ли выражение в правой части равенства:

$2000 \cdot 4^{15} (x y z)^{10}=c_2^{24} c_4^{24} ((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2 (b_2+1)/((b_1-1) (b_2-1)^2)$

уменьшиться, если $b_2$ близко к $5$ при переходе от предыдущей точки к следующей в циклической группе точек.

Нужно проверить это на компьютере.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение25.09.2014, 20:12 


31/03/06
1384
Доказать, что это выражение не может уменьшиться, если $b_2$ близко от $5$, а $b_1$ близко от $-5$ непросто (в этом случае $(b_2-1)(b_1+1)+16$ близко от нуля).
Зато несложно доказать, что если оно даже уменьшится, то в следующей точке, оно увеличится на бОльшую величину чем уменьшилось.
Это даёт нам значение отношения $\frac{x^2}{y z}$ или $\frac{y^2}{x z}$ (как мы собираемся показать далее) исходя из значений $b_2$ вблизи от $5$ и $b_1$ вблизи от $-5$.
Можно привлечь ещё случай $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное.
Интересно, что отношение чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$, скажем, к $a_4$ зависит только от $b_1$ и $b_2$.

Проверим, что
$a_0=(b_1-1) a_2^2/(4 a_4)$,
$a_1=(b_2-1) a_4^2/(2 a_2)$,
$a_3=-(b_1+1) a_2^3/(2 (b_2-1) a_4^2)$,
$a_2^5/a_4^5=4 (b_2-1) (b_2+1)/((b_1-1)(b_1+1))$:

Код:
(b1-1)*a2^2/(4*a4);
(b2-1)*a4^2/(2*a2);
-(b1+1)*a2^3/(2*(b2-1)*a4^2);
4*(b2-1)*(b2+1)/((b1-1)*(b1+1));


Проверено (с учётом выражений для $a_3$ из первых двух равенств (2)).

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение26.09.2014, 08:23 


31/03/06
1384
Исправим код в предыдущем сообщении:

Код:
b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;
b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;

(b1-1)*a2^2/(4*a4);
(b2-1)*a4^2/(2*a2);
-(b1+1)*a2^3/(2*(b2-1)*a4^2);
4*(b2-1)*(b2+1)/((b1-1)*(b1+1));


Получается довольно большое значение для отношения $x^2/(y z)$ или $y^2/(x z)$, но я пока не вижу чему это противоречит.
Случай $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное, не даёт формулу (82), а даёт другую формулу, поэтому неясно, как этот случай использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение27.09.2014, 19:18 


31/03/06
1384
Займёмся выводом аналога формулы (82) для случая $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное.
Насколько возможно не будем делать различия между случаями, работая с равенствами:

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

(90)
$a_0=(b_1-1) a_2^2/(4 a_4)$,
$a_1=(b_2-1) a_4^2/(2 a_2)$,
$a_3=-(b_1+1) a_2^3/(2 (b_2-1) a_4^2)$,
$a_2^5/a_4^5=4 (b_2-1) (b_2+1)/((b_1-1)(b_1+1))$:

(91)
$a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=5 a_0^2-10 a_2^2 a_4/a_3$
$2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=5 a_1^2-10 a_2 a_4^2/a_3$

(92)
$b_1=(a_2^2+4 a_0 a_4)/a_2^2$
$b_2=(a_4^2+2 a_1 a_2)/a_4^2$

Равенства (91) следуют из равенств (5.3.1) и (5.3.2) из "темы 5".

Докажем равенства:

(93)
$a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=(a_4^3/a_2) (5/4) ((b_2-1)/(b_1+1)) ((b_1-1)(b_2+1)+16)$
$2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=(a_4^4/a_2^2) (5/4) ((b_2-1)/(b_1+1)) ((b_1+1)(b_2-1)+16)$

Код:
b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;
b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;

u:=5/4*(b2-1)/(b1+1);

a4^3/a2*u*((b1-1)*(b2+1)+16);

a4^4/a2^2*u*((b1+1)*(b2-1)+16);


Получим:
$10 a_1 (a_0 a_1 a_2+a_0 a_4^2+2 a_2^2 a_4)/(2 a_0 a_4+a_2^2)$
$5 a_1 (2 a_0 a_1 a_4+a_1 a_2^2+4 a_2 a_4^2)/(2 a_0 a_4+a_2^2)$

Или (используя первое равенство (2))

$-(5/a_3) (a_0 a_1 a_2+a_0 a_4^2+2 a_2^2 a_4)$
$-(5/(2 a_3)) (2 a_0 a_1 a_4+a_1 a_2^2+4 a_2 a_4^2)$

Покажем, что:
(94)
$-(a_0 a_1 a_2+a_0 a_4^2+2 a_2^2 a_4)=a_0^2 a_3-2 a_2^2 a_4$,
$-(2 a_0 a_1 a_4+a_1 a_2^2+4 a_2 a_4^2)=2 a_1^2 a_3-4 a_2 a_4^2$.

Отнимая левую часть от правой в этих равенствах и сокращая на $a_0$ и $a_1$ получим:
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$,
$2 a_1 a_3+2 a_0 a_4+a_2^2=0$.

Мы получили первые два равенства (2).
Что и требовалось.

Равенства (93) следуют из равенств (91) и (94).

Мы продолжим вывод формулы (82) и её аналога в следующем сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение27.09.2014, 23:41 


31/03/06
1384
Из равенств (93) следует:

(95) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3) (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^2=(a_4^{11}/a_2^5) (5^3/4^3) ((b_2-1)^3/(b_1+1)^3) ((b_1-1)(b_2+1)+16) ((b_1+1)(b_2-1)+16)^2$

Из первых двух равенств (2) и равенств (92) следует:

(96) $b_2+1=-2 a_0 a_3/a_4^2,  b_1+1=-4 a_1 a_3/a_2^2$

Из равенств (92) следует:

(97) $b_1-1=4 a_0 a_4/a_2^2, b_2-1=2 a_1 a_2/a_4^2$.

Из (96) и (97) следует:

$(b_2-1)^3/(b_1+1)^3=\frac{(2 a_1 a_2)^3}{a_4^6}/\frac{(-4 a_1 a_3)^3}{a_2^6}=-(1/2^3) a_2^9/(a_4^6 a_3^3)$.

Значит:

(98) $(b_2-1)^3/(b_1+1)^3=-(1/2^3) a_2^9/(a_4^6 a_3^3)$.

Из (95) и (98) следует:

$(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3) (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^2=(a_4^{11}/a_2^5) (5^3/4^3) (-(1/2^3) a_2^9/(a_4^6 a_3^3)) ((b_1-1)(b_2+1)+16) ((b_1+1)(b_2-1)+16)^2$

или

(99) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3) (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^2=-(5^3/2^9)(a_2^4 a_4^5/a_3^3) ((b_1-1)(b_2+1)+16) ((b_1+1)(b_2-1)+16)^2$

Из (96) и (97) следует:

$(b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)=\frac{(-2 a_0 a_3/a_4^2) (4 a_1 a_3/a_2^2)^2}{(4 a_0 a_4/a_2^2)(2 a_1 a_2/a_4^2)^2}=-2 a_3^3 a_4/a_2^4=-2 \frac{a_4^5}{(a_2^4 a_4^4/a_3^3)}$.

Значит:

(101) $(b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)=-2 \frac{a_4^5}{(a_2^4 a_4^4/a_3^3)}$.

Из (99) и (101) следует:

(100) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=(5^{15}/2^{46})(a_2^4 a_4^4/a_3^3)^6 ((b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)) ((b_1-1)(b_2+1)+16)^5 ((b_1+1)(b_2-1)+16)^{10}$

Покажем, что:

(102)
$a_2^4 a_4^4/a_3^3=(4/125) c_2^4 c_4^4$, в случае $x^2-y z g^2$, где $x$ - нечётное, и
$a_2^4 a_4^4/a_3^3=(8/125) c_2^4 c_4^4$, в случае $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное.

В случае $x^2-y z g^2$, где $x$ - нечётное, это проверяется следующим кодом:

Код:
d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;
a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

a2^4*a4^4/a3^3;


В случае $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное, это проверяется следующим кодом:

Код:
d0:=d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*(5/2)*(d2*d4)^3;

a0:=2 d2^3*c0;
a1:=d4^3*c1;

a2^4*a4^4/a3^3;


Поскольку $(5^{15}/2^{46})(4^6/125^6)=1/(5^3 \cdot 2^{34})=1/(2000 \cdot 4^{15})$,
то в случае $x^2-y z g^2$, где $x$ - нечётное, имеет место равенство (82) или:

(105) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=(1/(2000 \cdot 4^{15})) c_2^{24} c_4^{24} ((b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)) ((b_1-1)(b_2+1)+16)^5 ((b_1+1)(b_2-1)+16)^{10}$

В случае $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное, имеет место равенство:

(106) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=(1/(2000 \cdot 4^{12})) c_2^{24} c_4^{24} ((b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)) ((b_1-1)(b_2+1)+16)^5 ((b_1+1)(b_2-1)+16)^{10}$

Можно показать, что в (105): $b_1<0, b_2>0$, а в (106): $b_1>0, b_2<0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group