2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение07.08.2014, 23:10 
Аватара пользователя


26/02/11
332
В учебнике Сухарева (и др.) есть теорема про метод множителей Лагранжа для классической задачи условной оптимизации (ограничения типа равенства). Так вот, мне непонятно откуда берется условие 1.14 (см. рис). Никогда с ним не встречался и не применял. Где можно почитать доказательство этого? Либо может кто скажет почему так?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение07.08.2014, 23:42 


10/02/11
6786
оттуда же откуда в обычном методе множителей Лагранжа при отыскании условного экстремума функцй многих переменных

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение09.08.2014, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Теорема. "Из А следует Б". Вопрос: "Откуда берётся условие А? Никогда с ним не встречался и не применял". Я думаю, что лучший способ разбираться с такими теоремами - посмотреть как они работают на простых примерах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 17:46 
Аватара пользователя


26/02/11
332
мат-ламер в сообщении #894555 писал(а):
Теорема. "Из А следует Б". Вопрос: "Откуда берётся условие А? Никогда с ним не встречался и не применял". Я думаю, что лучший способ разбираться с такими теоремами - посмотреть как они работают на простых примерах.

На простых примерах я раньше применял критерий Сильвестра. Оказывается это было неправильно. Теперь узнал что-то новенькое. Это следует из формулы Тейлора и условия не вылета из области.
Спасибо мат-ламер, Oleg Zubelevich!

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 17:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Что - это?
Достаточные условия любого локального экстремума следуют из формулы Тейлора.
Но условие (1.14) возникает в задаче об условном экстремуме и связано с тем, что квадратичная форма второго дифференциала функции Лагранжа рассматривается на касательном пространстве к поверхности ограничений, задаваемом именно этим условием, а не на всем пространстве.

Это вовсе не помеха применению критерия Сильвестра, если очень захочется/возникнет надобность, нужно только отдавать себе отчет, что пространство - другое, размерность пространства - другая, квадратичная форма, вернее ее сужение на это подпространство, тоже будет не та, как казалось.. в общем, надо понимать, что делаешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 18:14 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Otta,


Изображение


Источник: Моисеев Н.Н, Ю.П Иванилов, Е. М. Столярова "Методы оптимизации" (1978)

Otta в сообщении #895348 писал(а):
Это вовсе не помеха применению критерия Сильвестра, если очень захочется/возникнет надобность, нужно только отдавать себе отчет, что пространство - другое, размерность пространства - другая, квадратичная форма, вернее ее сужение на это подпространство, тоже будет не та, как казалось.. в общем, надо понимать, что делаешь.

Ну это совсем простые задачи получаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 18:33 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dosaev
Фрагмент этот мне ни о чем не говорит, кроме того, что будучи вырванным из контекста, он смотрится плохо.
Как такие теоремы доказываются, я имею некоторое представление, спасибо Вам за заботу.
Я Вам написала - и то бегло, но кратко - суть происходящего. Вы пытаетесь эту суть искать в инструментарии. Ваше право. :) Но это не лучшее, что следует делать - исключительно на мой взгляд.
Dosaev в сообщении #895359 писал(а):
Ну это совсем простые задачи получаются?

Какие задачи Вы называете непростыми?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 19:24 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Otta в сообщении #895366 писал(а):
Я Вам написала - и то бегло, но кратко - суть происходящего.

Ваше геометрическое объяснение ясно, спасибо вам и на этом!
Otta в сообщении #895348 писал(а):
Это вовсе не помеха применению критерия Сильвестра, если очень захочется/возникнет надобность, нужно только отдавать себе отчет, что пространство - другое, размерность пространства - другая, квадратичная форма, вернее ее сужение на это подпространство, тоже будет не та, как казалось..

То есть во всех задачах (учебных) на поиск условного экстремума можно использовать критерий Сильвестра (с осторожностью)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 19:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dosaev в сообщении #895381 писал(а):
спасибо вам и на этом!

Вдохновляет. :mrgreen: Пожалуйста и на том. :)
Dosaev в сообщении #895381 писал(а):
То есть во всех задачах (учебных) на поиск условного экстремума можно использовать критерий Сильвестра (с осторожностью)?

Я бы Вам сказала "да" - и я уже сказала выше, и привела все оговорки и прочее, - но очень опасаюсь, что мое разрешение )) может быть понято слишком буквально. Давайте по-другому - Вы поняли, что тут
Otta в сообщении #895348 писал(а):
нужно только отдавать себе отчет, что пространство - другое, размерность пространства - другая, квадратичная форма, вернее ее сужение на это подпространство, тоже будет не та, как казалось
имелось в виду? Если поняли, значит, можно. А если нет, значит, пока нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 19:46 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Значит пока нельзя. :-)
Сужение квадратичной формы на подпространство - это подстановка дифференциалов из уравнений связи в $d^2L$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 20:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Совершенно верно. Именно эти условия (дифференциалы) задают касательное пространство. Сужение квадратичной формы на него, которое можно получить подстановкой этих условий в форму, оставит ее квадратичной. Но это уже будет квадратичная форма на касательном пространстве, имеющем более низкую размерность, и значит, зависящая от меньшего числа переменных. Размерность пространства $n$, размерность касательного пространства $n-m$. Мы можем из $m$ условий, его задающего, выразить $m$ фиксированных переменных через $n-m$ остальных, подставить в квадратичную форму, получится квадратичная форма, но уже от $n-m$ переменной. И уже для нее смотрите знакоопределенность, как угодно, в том числе и критерием Сильвестра.

Надо только очень тщательно отслеживать размерность, потому что бывает, что в процессе подстановок и сокращений одна (больше) переменная теряется, и ранг квадратичной формы оказывается ниже размерности подпространства, что часто ведет к нежелательным эффектам - например, можно принять за положительно определенную квадратичную форму форму полуопределенную.

Но размерность надо отслеживать при любом способе решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение11.08.2014, 23:39 


10/02/11
6786
topic53395.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение12.08.2014, 00:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Oleg Zubelevich
Это необходимое условие, ТС, я так поняла, больше достаточное интересует.
Хотя, конечно, в достаточном необходимое закладывается.
Да, Вы правы. Это вполне может служить ответом, зачем нужно ограничение (1.14), для тех, кто его в Вашей ссылке сможет распознать. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение12.08.2014, 11:05 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Otta,
Благодарю за разъяснение! Просто в данной теореме это в несколько ином виде показано (условие 1.14).

(Оффтоп)

Otta в сообщении #895454 писал(а):
для тех, кто его в Вашей ссылке сможет распознать. :)

Я явно не из тех :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод множителей Лагранжа. Теорема.
Сообщение12.08.2014, 12:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dosaev в сообщении #895499 писал(а):
Просто в данной теореме это в несколько ином виде показано (условие 1.14).

Это Вам кажется. Совершенно тот же вид. ))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group