2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:54 
Аватара пользователя


11/06/12
6592
Минск
Во-первых, среднее арифметическое одно-единственное, а не для такой-то или сякой-то $\varphi(t)$. Давайте будем употреблять термин «среднее Колмогорова для такой-то $\varphi(t)$». А то запутаемся.
Итак, заново. Найдите среднее Колмогорова $M(x_1,x_2,...,x_n)$, если $\varphi(t)=2t$. Все выкладки напишите полностью, не пропуская шагов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 18:14 


07/08/14
1656
0. аргумент в $$\varphi^{-1}(t) - это выражение в скобках в формуле Колмогорова $$\varphi^{-1}\left(\frac{\varphi(x_{1})+\varphi(x_{2})+...+\varphi(x_{n})}{n}\right)
вот это: $$\frac{\varphi(x_{1})+\varphi(x_{2})+...+\varphi(x_{n})}{n}

1. чтобы его вписать в обратную функцию, находим эту обратную функцию для $$\varphi(t)=2t
$$\varphi^{-1}(t)=\frac{t}{2} или $$\varphi^{-1}(t)=\frac{1}{2}t

2. теперь подставляем то что получили в формулу Коломогорова (пока без раскрытия аргумента)

$$\frac{1}{2}\left(\frac{\varphi(x_{1})+\varphi(x_{2})+...+\varphi(x_{n})}{n}\right)

3. раскрываем аргумент

$$\frac{1}{2}\left(\frac{2x_{1}+2x_{2}+...+2x_{n}}{n}\right) = $$\frac{2}{2}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}\right) = $$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {x_i}
...
однако
матожидание, которое суть среднее арифметическое - линейно
соответственно
$$M[2X] = 2M[X]
матожидание для удвоенных значений случайной величины равно удвоенному матожиданию этой случайной величины.
что выразится примерно так
$$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {2x_i} = $$2\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {x_i}

-- 07.08.2014, 18:22 --

Aritaborian в сообщении #894020 писал(а):
Во-первых, среднее арифметическое одно-единственное, а не для такой-то или сякой-то $\varphi(t)$.

не могли бы пояснить вот эту фразу?

-- 07.08.2014, 18:29 --

я имею ввиду, что когда ищу среднее арифметическое для значений, которые зависят от аргумента (среднее арифметическое значений функции), то оно (его итоговая формула) разное для разных функций
для $$\varphi(t)=t - одна формула среднего арифметического, для $$\varphi(t)=t^2 другая

-- 07.08.2014, 18:31 --

в общем, спасибо! похоже немного разобрался...
действительно, среднее арифметическое оно же имеет одинаковый вид для любых функций...
осталось разобраться о чем формула Колмогорова тогда...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61271
upgrade в сообщении #894024 писал(а):
однако
матожидание, которое суть среднее арифметическое - линейно
соответственно
$M[2X] = 2M[X]$

однако
при чём здесь это, с бухты-барахты?

-- 07.08.2014 19:59:23 --

P. S. Вы не научились нормально писать формулы. Надо не ставить два значка доллара вначале, а окружать формулу одним значком доллара вначале, и одним в конце. Не
$$ ...
а
$ ... $

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 19:00 


07/08/14
1656
ни при чем, это вообще из другой оперы. я увидел у Колмогорова функции и решил что туда подставляется любая функция и ищется некое среднее.
P.S.
понятно, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 19:01 
Аватара пользователя


11/06/12
6592
Минск
Формула Колмогорова именно о том, о чём она есть: она для вычисления среднего Колмогорова. А средним арифметическим называется среднее Колмогорова при выборе в качестве $\varphi(t)$ тождественного преобразования. И только оно.
Я вижу, что вы что-то неправильно понимаете в определениях, но не могу пока сообразить, как чётко указать вам на ваше недопонимание.

-- 07.08.2014, 19:01 --

upgrade в сообщении #894039 писал(а):
ни при чем, это вообще из другой оперы
Ну так и не пишите сюда это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13105
с Территории
Да, туда подставляется любая функция и ищется некое среднее. И что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 19:20 


07/08/14
1656
Aritaborian в сообщении #894040 писал(а):
Я вижу, что вы что-то неправильно понимаете в определениях, но не могу пока сообразить, как чётко указать вам на ваше недопонимание.

уже указали, вот тут
Aritaborian в сообщении #894020 писал(а):
среднее арифметическое одно-единственное, а не для такой-то или сякой-то $\varphi(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение01.10.2014, 18:14 


07/08/14
1656
еще один вопрос возник...
допустим имеется два массива данных, полученных путем сравнения двух случайных величин $X$ и $Y$
1. числа первого массива - это $X_i-Y_i$
2. числа второго массива - это $\frac{X_i}{Y_i}$

насколько корректно использование среднего арифметического для обоих массивов?
например, нашел вот какое утверждение:
"Основополагающим требованием является независимость выводов от того, какой именно шкалой измерения воспользовался исследователь (среди всех шкал, переходящих друг в друга при допустимых преобразованиях).
в том же источнике
"Теорема 2. В шкале интервалов из всех средних по Колмогорову допустимым является только среднее арифметическое."
"Теорема 3. В шкале отношений из всех средних по Колмогорову допустимыми являются только степенные средние $c$ и среднее геометрическое."

правильно ли я понимаю, что некорректно применять среднее арифметическое ко второму массиву (состоящему из отношений $\frac{X_i}{Y_i}$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение01.10.2014, 19:01 
Аватара пользователя


11/06/12
6592
Минск
Да, теорема 3 говорит именно об этом.
А что за источник-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение01.10.2014, 19:12 


23/05/12

1245
Все зависит от целей сравнений. Процедуры должны быть осмысленными.
ps источник Орлов видимо, эконометрика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение01.10.2014, 19:32 


07/08/14
1656
Aritaborian в сообщении #914305 писал(а):
Да, теорема 3 говорит именно об этом.

спасибо
Aritaborian в сообщении #914305 писал(а):
А что за источник-то?

Орлов, статья "МЕСТО ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ В МЕТОДАХ АНАЛИЗА ДАННЫХ"
Lukum в сообщении #914311 писал(а):
Процедуры должны быть осмысленными.

так вот ... осмысляю :-)
для анализа массива данных среднее геометрическое "работает" (получаются красивые графики и т.д.), но работает вообще любое среднее - везде графики разной степени красивости, в том числе и с отношениями..

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение01.10.2014, 19:39 
Аватара пользователя


11/06/12
6592
Минск
Красивость $\neq$ целесообразность. Вы опасно заблуждаетесь, полагая, что любая функция для среднего работает. Так можно выплеснуть ребёнка вместе с водой и понаделать абсолютно неверных выводов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение01.10.2014, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18803
Уфа
Добавлю: функция $\phi$ в том среднем Колмогорова как раз намекает на то, где применимо такое $\phi$-среднее, если известно, где применимо $\operatorname{id}$-среднее, т. е. среднее арифметическое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение01.10.2014, 20:50 


07/08/14
1656
Aritaborian в сообщении #914325 писал(а):
Вы опасно заблуждаетесь, полагая, что любая функция для среднего работает.

ну как "работает":
например ряд $2,3,4,5,6,7,8$ имеет среднее арифметическое "разниц" $1$, чтобы найти последний член ряда надо к первому прибавить $1\cdot (n-1)$, где $n$ - порядковый номер последнего члена ряда, а среднее отклонение разниц от среднего арифметического покажет $0$.
этот же ряд имеет среднее геометрическое "отношений" $1,25992105$, чтобы найти последний член надо первый член ряда умножить на $1,25992105^{n-1}$, ...аналог "среднего отклонения" $1$
и первый и второй метод показывают как отстоят друг от друга значения, только шкалы разные..

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение01.10.2014, 20:56 
Аватара пользователя


11/06/12
6592
Минск
Вот только загвоздка в том, что разница для последовательности $\{a_n\}=n$ равна $1$, сколько бы членов мы не взяли. И это в самом деле характеризует последовательность.
А теперь сравним со вторым способом... Уловили?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group