2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равенство несобственных интегралов.
Сообщение04.08.2014, 10:39 


22/07/12
560
Доказать равенство
$$\int\limits_0^{+\infty}f(ax + \frac{b}{x})dx = \frac{1}{a}\int\limits_0^{+\infty}f(\sqrt{x^2 + 4ab})dx$$
где $a > 0$ и $b > 0$, предполагая, что интеграл в левой части равенства имеет смысл.

Была идея в обоих интегралах сделать замену переменной.
В первом: $y = ax + \frac{b}{x}$
Во втором: $y = \sqrt{x^2 + 4ab}$
Но тут проблема в том, что если во втором $dx = \frac{y}{\sqrt{y^2 - 4ab}}dy$, то в первом у меня проблема в том, что функция не выражется явно через $y$. Может я пошёл не в том направлении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение04.08.2014, 10:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Сначала запишите
$$
\int_0^\infty f(x+1/x)dx=\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx,
$$
потом догадайтесь, какую замену переменной нужно сделать в последнем интеграле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение04.08.2014, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
main.c в сообщении #893271 писал(а):
Доказать равенство

кстати, симпатично... ничего, кроме з.п. не нужно. Избавьтесь сначала от параметров, они только глаза мозолят


nnosipov А я по-другому делал... способов куча

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение04.08.2014, 11:24 


22/07/12
560
nnosipov в сообщении #893278 писал(а):
Сначала запишите
$$
\int_0^\infty f(x+1/x)dx=\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx,
$$
потом догадайтесь, какую замену переменной нужно сделать в последнем интеграле.

$$ I = \int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx = \int_0^1 f(x+1/x)dx + \int_0^1 f(x+1/x)1/x^2dx $$
$$y = 1/x$$
$$\int_0^1 f(x+1/x)1/x^2dx = -\int_{+\infty}^{1} f(y + 1/y)dy =  \int_{1}^{+\infty} f(y + 1/y)dy$$
Ну а дальше по свойству аддитивности получаем нужное равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение04.08.2014, 13:56 


22/07/12
560
Только что мне это дало?
alcoholist в сообщении #893280 писал(а):
Избавьтесь сначала от параметров, они только глаза мозолят

Как мне от них избавиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение04.08.2014, 18:03 


22/07/12
560
nnosipov в сообщении #893278 писал(а):
Сначала запишите
$$
\int_0^\infty f(x+1/x)dx=\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx,
$$
потом догадайтесь, какую замену переменной нужно сделать в последнем интеграле.

А Вы тут говорите о каком последнем интеграле?
Вот этом?
$$\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)d$$
Или вот об этом?
$$\frac{1}{a}\int\limits_0^{+\infty}f(\sqrt{x^2 + 4ab})dx$$
Не понимаю я Вашей подсказки :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение04.08.2014, 18:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Сделайте в интеграле
$$\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx$$
такую замену переменной, чтобы получился в точности вот этот интеграл
$$\int\limits_0^{+\infty}f(\sqrt{t^2 + 4})dt$$
(эта замена напрашивается сама собой, если посмотреть на аргументы функции $f$ в этих интегралах).

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение04.08.2014, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
nnosipov
Зачем такие сложности? Уж сразу к гипер

-- Пн авг 04, 2014 23:06:37 --

main.c в сообщении #893305 писал(а):
Как мне от них избавиться?

З.п. -- для правой и левой части разные, но одного вида: $x=kt$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение05.08.2014, 09:18 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alcoholist в сообщении #893371 писал(а):
Зачем такие сложности? Уж сразу к гипер
По-моему, это очевидно, но если хочется к гипер, то можно и к гипер. Хорошо, когда есть выбор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство несобственных интегралов.
Сообщение05.08.2014, 09:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
nnosipov в сообщении #893395 писал(а):
то можно и к гипер

там красиво получается... от минус беск до плюс беск $e^x$ -- разбиваем на два интеграла и получаем чинус

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group