2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 08:55 


24/01/08

333
Череповец
Вопрос очень простой. Может быть знающие люди помогут разобраться?
Берём
$\left( a^\frac{1}{b}\right)^b$
По известному в математике правилу, показатели степеней 1/b и b перемножаются. Так? Или я ошибаюсь?
То есть, всё это можно записать, как
$\left( a^\frac{1}{b}\right)^b = a$
Так? Или не так?

-- Пн июл 28, 2014 10:07:40 --

А если так, то сравниваем два графика функций
$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$
и
$f(x) = x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 09:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
BoBuk в сообщении #890817 писал(а):
А если так, то сравниваем два графика функций
$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$
и
$f(x) = x$

И что там с ними, кроме разницы в областях определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 09:35 


19/05/10

3940
Россия
BoBuk в сообщении #890817 писал(а):
...По известному в математике правилу...
В математике оно действительно известно

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 10:20 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
BoBuk в сообщении #890817 писал(а):
$\left( a^\frac{1}{b}\right)^b = a$
Так? Или не так?


Истинно так! При работе с числами и с обычными выражениями. (обычными - в смысле не функциями).

BoBuk в сообщении #890817 писал(а):
А если так, то сравниваем два графика функций
$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$
и
$f(x) = x$


К сообщению Otta, добавлю, что при работе с функциями, всегда нужно учитывать в каком виде изначально они даны. Ваш вопрос, сродни вопросу, а почему графики функций $y=x+2$ и $y=\frac{x^2-4}{x-2}$ немного отличаются? Да потому, что первая функция непрерывна, а вторая имеет точку разрыва. А в остальном один в один. А в Вашем случае, не просто точка разрыва, а область определения меняется.
Просто таковы свойства функций - для вычисления значения функции в точке, нужно проделать всю последовательность операций, записанных в правой части функции. Если же мы хотим сократить, упросить правую часть функции, то необходимо это делать с математической строгостью.

$$\left(x^{1/x}\right)^x=x,&\text{если $x>0$;}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 10:38 


24/01/08

333
Череповец
Область определения: от минус бесконечности, до плюс бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 10:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
BoBuk в сообщении #890841 писал(а):
Область определения: от минус бесконечности, до плюс бесконечности.

У второй функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 10:48 


24/01/08

333
Череповец
А у первой что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 10:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вот да, а у первой что? Какова область определения функции $y=x^{1/x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 17:44 


24/01/08

333
Череповец
Otta в сообщении #890847 писал(а):
Вот да, а у первой что? Какова область определения функции $y=x^{1/x}$?

Первая, это вот эта

$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$

Что значит, "какова область определения"?
От минус бесконечности до плюс бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 17:49 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вот у того, что внутри скобки, значение в точке $-2$ можете посчитать?
Как вообще такие функции определяются, у которых и основание, и показатель переменные, знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 20:57 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
BoBuk в сообщении #891011 писал(а):
От минус бесконечности до плюс бесконечности.


Неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 22:51 


24/01/08

333
Череповец
Otta в сообщении #891015 писал(а):
Вот у того, что внутри скобки, значение в точке $-2$ можете посчитать?

Могу.
Реальное значение равно нулю.
Мнимое $= \frac{1}{\sqrt2}$

Otta в сообщении #891015 писал(а):
Как вообще такие функции определяются, у которых и основание, и показатель переменные, знаете?

Вот вы меня и просветите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 22:54 


07/03/11
690

(Оффтоп)

Real по-русски принято переводить как действительное.

Shtorm в сообщении #891055 писал(а):
BoBuk в сообщении #891011 писал(а):
От минус бесконечности до плюс бесконечности.


Неверно.

Почему? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение28.07.2014, 22:55 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
BoBuk в сообщении #891095 писал(а):
Реальное значение равно нулю.

:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос
Сообщение29.07.2014, 00:38 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
BoBuk в сообщении #891095 писал(а):
Otta в сообщении #891015 писал(а):
Вот у того, что внутри скобки, значение в точке $-2$ можете посчитать?

Могу.
Реальное значение равно нулю.
Мнимое $= \frac{1}{\sqrt2}$


Мнимая часть будет равняться не $\frac{1}{\sqrt2}$, а $-\frac{1}{\sqrt2}$

Но всё это не имеет смысла, поскольку изначально функция была определена как функция в области действительных чисел. Если при подстановке в функцию действительного числа вместо $x$, получается мнимое значение - то при данном $x$ функция не существует.

Shtorm в сообщении #891055 писал(а):
Неверно.

vlad_light в сообщении #891097 писал(а):
Почему?


Потому, что область определения функции $ y=x^{\frac1x}$ вот какая: $x\in(0,+\infty)$ Спросите почему? Прочитайте начало этого моего сообщения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group