2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 12:01 


22/07/12
560
Someone в сообщении #890116 писал(а):
А в точке $0$? Ни один из этих интервалов точку $0$ не содержит.

Ну тут подразумевалось, что само множество X тоже входит в базу.
Someone в сообщении #890116 писал(а):
$=\bigcup\limits_{a_i>\sqrt{2}}(a_i,+\infty)$ ?

Да, действительно получается так :D .
Someone в сообщении #890116 писал(а):
Какой базы? Если Вам задана только предбаза, то откуда взялась ещё и база?

Это неверное док-во. Вот верное.
Пусть $\Delta$ есть предбаза, тогда объединение элементов предбазы покрывает множество $X$, в противном случае(не покрывает), объединение совокупности всевозможных конечных пересечений элементов предбазы тоже не покрывает множество $X$, чего не может быть, так как эта совокупность по определению является базой.
В обратную сторону. Пусть $\Delta$ набор открытых множеств, объединение которых покрывает $X$. Докажем, что совокупность $B$ всевозможных конечных пересечений элементов из этого набора является базой.
1. Множество $B$ покрывает $X$, так как $\Delta$ покрывает.
2. Любое пересечение из $B$ представимо в виде объединения элементов из $B$. Очевидно это так, так как пересечение конечных пересечений само является конечным пересечением. А значит является элементом из $B$.
Этих двух пунктов достаточно, чтобы утверждать, что $B$ - база.(Тут я использую ранее доказанную в книге лемму). А значит $\Delta$ - предбаза.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #890137 писал(а):
Пусть $\Delta$ набор открытых множеств
Пока ещё не открытых. Открытыми они станут после того, как Вы определите топологию.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 12:53 


22/07/12
560
Ладно, соглашусь.
Цитата:
Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #890168 писал(а):
Ладно, соглашусь.
Цитата:
Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше? :D
Нет, ещё хуже. Вам ведь надо показать, что заданное семейство множеств является предбазой некоторой топологии, а Вы, ещё не доказав этого, уже объявляете множества открытыми в невесть какой топологии.

Правильно должно выглядеть так: пусть $\Delta$ — некоторое покрытие множества $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 18:25 


22/07/12
560
Someone в сообщении #890247 писал(а):
main.c в сообщении #890168 писал(а):
Ладно, соглашусь.
Цитата:
Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше? :D
Нет, ещё хуже. Вам ведь надо показать, что заданное семейство множеств является предбазой некоторой топологии, а Вы, ещё не доказав этого, уже объявляете множества открытыми в невесть какой топологии.

Правильно должно выглядеть так: пусть $\Delta$ — некоторое покрытие множества $X$.

$\Delta$ - это произвольный набор подмножеств из $X$. Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
main.c в сообщении #890265 писал(а):
Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

Частью какой-либо топологии набор подмножеств то является, но вот эта топология, в общем случае, не имеет никакого отношения к вашему доказательству.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 00:23 


22/07/12
560
demolishka в сообщении #890293 писал(а):
main.c в сообщении #890265 писал(а):
Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

Частью какой-либо топологии набор подмножеств то является, но вот эта топология, в общем случае, не имеет никакого отношения к вашему доказательству.

Принципиальной роли в доказательстве она не играет, я и не спорю, но отношение она имеет самое непосредственное. Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 00:36 


16/06/14
96
patzer2097 в сообщении #889999 писал(а):
main.c в сообщении #889992
писал(а):
как её можно уменьшить??? по включению!!! например, удалить интервал (0,1)!!!

Вопрос был о любой базе. А так согласен, любое можно выкинуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 00:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #890329 писал(а):
Принципиальной роли в доказательстве она не играет, я и не спорю, но отношение она имеет самое непосредственное. Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.
То есть, ваше доказательство состоит в том, что Вы заранее предполагаете верным именно то, что требуется доказать?
Кстати, что значит "получили"? Семейство множеств $\Delta$ нам задано до начала доказательства. И нам надо доказать, что оно является предбазой некоторой топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 01:57 


22/07/12
560
Someone в сообщении #890333 писал(а):
То есть, ваше доказательство состоит в том, что Вы заранее предполагаете верным именно то, что требуется доказать?

Я лишь предположил, что это открытые множества некоторой топологии. А доказываю я другое. Вы дальше сами написали, что именно мне нужно доказать.
Someone в сообщении #890333 писал(а):
Кстати, что значит "получили"? Семейство множеств $\Delta$ нам задано до начала доказательства. И нам надо доказать, что оно является предбазой некоторой топологии.

Вы поняли о чём речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
main.c писал(а):
Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

Хорошо, для меня некоторая топология - дискретная. Вы хотите сказать, что любое покрытие множества X - это всегда предбаза базы дискретной топологии?

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 11:47 


22/07/12
560
demolishka в сообщении #890339 писал(а):
main.c писал(а):
Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

Хорошо, для меня некоторая топология - дискретная. Вы хотите сказать, что любое покрытие множества X - это всегда предбаза базы дискретной топологии?

Всё, понял, спасибо! В общем случае это предбаза другой топологии.

-- 26.07.2014, 12:26 --

Осталось разобраться ещё с несколькими вопросами.
Цитата:
6. Докажите, что всевозможные бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, образуют базу некоторой топологии в N.
7. С помощью этой топологии докажите, что множество простых чисел бесконечно.
Воспользуйтесь тем, что в противном случае множество {1} было бы открытым (?!).

Ну 6 - доказывается очень просто. Пусть $B$ - множество всевозможных бесконечных арифметических прогрессий. Пусть $\Omega$ - множество всех возможных объединений элементов из $B$.
1. Это множество покрывает $N$
2. Пересечение 2 элементов из $B$ очевидно может быть представлено, как объединение элементов из $B$.
Так что множество $B$ всевозможных бесконечных арифметических прогрессий является базой в $N$.
А вот с 7 мне не понятно. Причём тут простые числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #890390 писал(а):
Всё, понял, спасибо! В общем случае это предбаза другой топологии.
К тому же, для доказательства это (открытость элементов семейства $\Delta$) совсем не нужно, а ненужные предположения, отсутствующие в условии, очень плохо смотрятся. Поэтому я к Вам и прицепился.

main.c в сообщении #890390 писал(а):
Пересечение 2 элементов из $B$ очевидно может быть представлено, как объединение элементов из $B$.
Неплохо было бы ваши рассуждения увидеть. На самом деле это пересечение является элементом $B$. Хотя это не требуется, а ваше утверждение практически очевидно.

main.c в сообщении #890390 писал(а):
А вот с 7 мне не понятно. Причём тут простые числа?
Арифметическая прогрессия, первый член и разность которой равны простому числу $p$, содержит все натуральные числа, делящиеся на $p$. Каждое натуральное число, большее единицы, делится на какое-нибудь простое число.
Некоторые (микроскопические) различия в рассуждениях возникают в связи с тем, что иногда ноль считают натуральным числом, а иногда не считают.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 13:55 


22/07/12
560
Someone в сообщении #890413 писал(а):
На самом деле это пересечение является элементом $B$.

Ну не совсем так, ведь если мы возьмём непересекающиеся арифметические прогрессии, то их пересечение будет пустым множеством, а в $B$ нет пустого множества. А в остальных случаях да, согласен - является элементом из $B$.
Someone в сообщении #890413 писал(а):
Арифметическая прогрессия, первый член и разность которой равны простому числу $p$, содержит все натуральные числа, делящиеся на $p$. Каждое натуральное число, большее единицы, делится на какое-нибудь простое число.
Некоторые (микроскопические) различия в рассуждениях возникают в связи с тем, что иногда ноль считают натуральным числом, а иногда не считают.

Мне интересно вот это указание.
Цитата:
Воспользуйтесь тем, что в противном случае множество {1} было бы открытым (?!).

Не совсем понимаю, как из конечности простых чисел пришли к тому, что {1} - открыто.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #890416 писал(а):
Ну не совсем так, ведь если мы возьмём непересекающиеся арифметические прогрессии, то их пересечение будет пустым множеством, а в $B$ нет пустого множества.
Уточнение принимается.

main.c в сообщении #890416 писал(а):
Не совсем понимаю, как из конечности простых чисел пришли к тому, что {1} - открыто.
Попробуйте доказать, что арифметическая прогрессия является замкнутым множеством.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group