2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
_Er в сообщении #892034 писал(а):
Но тогда такой вопрос: единственным ли образом можно получить в алгебре базис с какими-то заданными структурными константами? Мне кажется, что нет.

Нет, например, в ваших алгебрах возможны циклические перестановки трёх базисных векторов. Кроме того, вообще вращения, которые в частном случае дают эти циклические перестановки.

Но это потому, что базисные векторы у вас равноправны. В более сложных случаях, чтобы найти возможные симметрии базиса, используются корневые системы и схемы Дынкина (я ими пользоваться не умею, увы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 14:40 


24/07/14
138
Еще, вроде бы я об этом забыл сказать, была у меня раньше такая мысль по этой задаче. Когда мы восстанавливаем указанным мною ранее способом элементы групп по их алгебрам, то применяя эту операцию к обоим частям равенства: $$\widetilde{T}(1+\varepsilon B) = 1+\varepsilon f(B)$$мы получаем справа все элементы группы $SU(2)$, а слева все возможные операторы вида $\widetilde{T}(R)$, где $R \in SO(3)$. Дальше я хочу сказать вот, что: в группе $SO(3)$ "в два раза меньше" элементов чем в группе $SU(2)$ – каждому $R \in SO(3)$ соответствует пара $U,-U \in SU(2)$. Поэтому и различных операторов $\widetilde{T}(R)$ в левой части будет "в два раза меньше", чем различных матриц $U$ в правой части. Поэтому для того, чтобы это равенство сохранялось нужно допустить неоднозначность отображения $\widetilde{T}$, чего допустить нельзя по определению представления. Думаю, идея понятна. Конечно, нельзя говорить "в два раза меньше", учитывая, что мы имеем дело с бесконечными группами. Можно даже привести пример такой же ситуации когда многозначность отображения не требуется: счетность множества целых чисел без нуля. Но возможно здесь есть какие-то ограничения, которые такое не разрешат.

-- 31.07.2014, 14:46 --

Munin в сообщении #892063 писал(а):
Нет, например, в ваших алгебрах возможны циклические перестановки трёх базисных векторов.
Насчет перестановок уже заметил. Умножение одного или двух элементов базиса на $-1$ тоже не меняет структурных констант. Вообще посмотрел на возможные решения системы уравнений для $f$, получающейся из условия сохранения коммутации при равных структурных константах в двух алгебрах: похоже, что все-таки есть бесконечное число возможных $\alpha_{ij}$ при которых $f$ будет изоморфизмом алгебр.

Кстати, ни циклические перестановки, ни умножение на $-1$ для нас несущественны: в том месте, что нас интересует, коэффициенты $\gamma_i$ входят только в виде суммы квадратов $\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Хочу предупредить. Сейчас вы сосредоточены на различиях групп $SU(2)$ и $SO(2),$ и можете не видеть этой важной детали. Речь идёт, на самом деле, не о группах, а об их представлениях. Буква $T$ означает именно представление. У одной группы есть много представлений (полезно рассмотреть множество представлений групп $SO(n),$ чтобы понять, какие они вообще бывают), и не всё, что относится к группам, относится к их же представлениям, и vice versa.

_Er в сообщении #892076 писал(а):
Конечно, нельзя говорить "в два раза меньше", учитывая, что мы имеем дело с бесконечными группами.

Можно, если говорить не про количество, а про длину (и аккуратно ввести её).

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 15:09 


24/07/14
138
Munin в сообщении #892081 писал(а):
Речь идёт, на самом деле, не о группах, а об их представлениях.
Да нет, вроде как вижу я это. Просто тот вариант восстановления представления группы по представлению алгебры приводит к тому, что мы получаем равенства вида $\widetilde{T}(R(t))=U(t), R \in SO(3), U \in SU(2)$. Все предложения, что я тут выкладываю в последнее время, нацелены на одно: показать, что при таком восстановлении найдется пара $U_1,U_2$ с общим прообразом $R_0$. Еще раз повторю идею:
_Er в сообщении #891625 писал(а):
У нас есть две изоморфные алгебры. Т.е. между их элементами можно установить однозначное соответствие. Я указал способ, по которому вроде бы можно восстановить по алгебре все элементы соответствующей ей группы. При таком восстановлении мы интегрируя по $t$ получаем кривые $U(t) \in SU(2)$ и $R(t) \in SO(3)$. Из изоморфизма алгебр следует, что между каждой парой таких кривых можно поставить некоторое соответствие. Так вот задача состоит в том, чтобы показать, что такое соответствие не будет взаимооднозначным.
...
Пример того, что я хотел бы получить я написал раньше:
Цитата:
для этих кривых должно получиться при некоторых $t_1,t_2$ следующее:
$U(t_1)=U_0, U(t_2)=-U_0=-U(t_1)$
$R(t_1)=R_0, R(t_2)=R_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 15:29 


12/02/14
808
_Er в сообщении #892034 писал(а):
Я тут говорю про вес $\pm2$ – он появляется из-за того, что изначально выбраны два базиса со структурными константами отличающимися в 2 раза. Если выбрать базисы с равными структурными константами, то эта двойка не нужна и получается $R(t_0)=1, U(t_0)=-1$.
А что происходит со структурными константами, когда мы применяем изоморфизм алгебр к базису в одной алгебре, получая тем самым базис в другой алгебре?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 15:52 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #892088 писал(а):
_Er в сообщении #892034 писал(а):
Я тут говорю про вес $\pm2$ – он появляется из-за того, что изначально выбраны два базиса со структурными константами отличающимися в 2 раза. Если выбрать базисы с равными структурными константами, то эта двойка не нужна и получается $R(t_0)=1, U(t_0)=-1$.
А что происходит со структурными константами, когда мы применяем изоморфизм алгебр к базису в одной алгебре, получая тем самым базис в другой алгебре?
Не уверен, что правильно понимаю вопрос. Можно взять какие-то два произвольных базиса с различными структурными константами и задать изоморфизм в виде $f(\tau_i)=\alpha_{ij}\omega_j$, где $\tau_i,\omega_i$ – базисы алгебр. Если "применить" такой изоморфизм алгебр к базису (т.е. положить $\omega_i'=\alpha_{ij}\omega_j$), то вы получите новый базис $\omega_i'$ и структурные константы в нем будут такие же, как в изоморфной алгебре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 15:56 


12/02/14
808
_Er в сообщении #892093 писал(а):
и структурные константы в нем будут такие же, как в изоморфной алгебре.
Ну вот, может это и поможет закончить решение задачи методом, который Вы предлагаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 16:19 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #892094 писал(а):
_Er в сообщении #892093 писал(а):
и структурные константы в нем будут такие же, как в изоморфной алгебре.
Ну вот, может это и поможет закончить решение задачи методом, который Вы предлагаете.
Что, как мне кажется, можно здесь сделать: можно сказать, что в изоморфных алгебрах мы выберем изоморфные базисы, т.е. положим $f(\tau_i)=\omega_i$, и тогда у матриц $A$ и $f(A)$ будут одинаковые координаты в этих базисах. Насколько я понимаю, получается, что у изоморфных элементов в любых изоморфных базисах координаты должны быть одни и те же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 16:37 


12/02/14
808
Ну вот и замечательно, теперь всё проверьте и напишите аккуратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 17:42 


24/07/14
138
_Er в сообщении #892098 писал(а):
Насколько я понимаю, получается, что у изоморфных элементов в любых изоморфных базисах координаты должны быть одни и те же.
И все-таки, наверное, это не так. Мы уже раньше говорили, что в нашем конкретном случае, структурные константы не меняются, например, при циклической перестановке элементов базиса. То есть, если базис $\tau_i$ изоморфен базису $\omega_i$, то изоморфными также будут и базисы $\tau_i',\omega_i$, где $\tau_i'$ получен из $\tau_i$ циклической перестановкой. При этом в двух таких базисах $\tau_i,\tau_i'$ координаты одного и того же элемента будут различны. Так что в общем случае здесь допускается некоторая произвольность, как мне кажется.

Под изоморфизмом базисов я понимаю то, что структурные константы в них одинаковы. Но этого недостаточно для равенства координат. Фактически мы здесь хотим показать, что в базисах $\tau_i$ и $\omega_i$ структурные константы одинаковы, а изоморфизм $f$ имеет вид $f(\tau_i)=\alpha_{ij}\omega_j$, то должно выполняться $\alpha_{ij}=\delta_{ij}$. Попытка это показать приводит к следующему соотношению(по повторяющимся индексам суммирование):$$\alpha_{km}C_{ijk}=\alpha_{ik}\alpha_{jl}C_{klm}$$
При произвольных $C_{ijk}$ здесь $\alpha_{ij}$ могут быть какими угодно(по крайней мере каких-то очевидных ограничений на них нет). Даже для нашего случая $C_{ijk}=2\varepsilon_{ijk}$ решений этой системы уравнений, как я уже говорил раньше, бесконечно много, если верить Mathematic'e.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 19:03 


12/02/14
808
_Er в сообщении #892098 писал(а):
Насколько я понимаю, получается, что у изоморфных элементов в любых изоморфных базисах
Что Вы под этим понимаете? Если изоморфизм для элементов и базисов один и тот же, это очевидно, а если нет -- то это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 19:30 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #892131 писал(а):
_Er в сообщении #892098 писал(а):
Насколько я понимаю, получается, что у изоморфных элементов в любых изоморфных базисах
Что Вы под этим понимаете? Если изоморфизм для элементов и базисов один и тот же, это очевидно, а если нет -- то это неверно.
Конкретно здесь я хотел сказать вот что. Допустим у нас есть два базиса $\tau_i$ и $\omega_i$ , структурные константы в которых совпадают. В этом случае между алгебрами можно задать изоморфизм $f(\tau_i)=\omega_i$. Изоморфными я назвал здесь два элемента $A=\gamma_i\tau_i$ и $B=\gamma_i\omega_i$ – их координаты в базисах $\tau_i$ и $\omega_i$ совпадают. Теперь возьмем два других базиса $\tau_i'$ и $\omega_i'$, в которых структурные константы также совпадают. Элементы $A$ и $B$ в этих базисах равны: $A=a_i\tau_i', B=b_i\omega_i'$. Так вот я надеялся, что $a_i=b_i$. Это я имел в виду говоря, что "у изоморфных элементов в любых изоморфных базисах координаты равны". Как я уже сказал, это, вроде бы, неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 20:08 


12/02/14
808
А зачем Вам это нужно для решения задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 20:22 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #892154 писал(а):
А зачем Вам это нужно для решения задачи?
Еще раз повторю. Я получил соотношения $$R(0)=R(t_0)=1, U(0)=1, U(t_0)=-1$$– они приводят к противоречию и тогда задача решена. Но я их получил для одного конкретного изоморфизма $f$, т.е. для одной конкретной пары базисов. Для того, чтобы решение было полным, я должен теперь это же соотношение получить для пары базисов (между которыми изоморфизм $f(\tau_i)=\omega_i$). Если бы оказалось, что во всех "изоморфных" базисах координаты "изоморфных" элементов совпадают (в том смысле, как я это записал в сообщении #892138), то задача была бы решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 21:00 


12/02/14
808
_Er в сообщении #892156 писал(а):
Если бы оказалось, что во всех "изоморфных" базисах координаты "изоморфных" элементов совпадают
А почему изоморфных в кавычках? Разве не достаточно изоморфных без кавычек, т.е. переводящихся друг в друга одним и тем же изоморфизмом?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group