2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение21.07.2014, 22:47 


22/07/12
560
Цитата:
Рассмотрим следующее свойство подмножества $F$ множества нату-
ральных чисел $\mathbb N$: существует такое$ N \in \mathbb N$, что $F$ не содержит арифметической
прогрессии длиной больше $N$ . Докажите, что набор, состоящий из таких подмножеств и всего множества $\mathbb N$, образует совокупность замкнутых множеств некоторой топологии в $\mathbb N$.

Нет ни малейшего представления, как тут доказывать, может кто-нибудь подкинуть идею?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение21.07.2014, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Вы знаете, что топологию можно задавать не только через открытые, но и через замкнутые множества(с другими аксиомами естественно)? Вот проверьте, что для подмножеств из вашей задачи выполняются эти аксиомы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение21.07.2014, 23:57 


22/07/12
560
Так, допустим.
Пусть $S$ рассматриваемый набор и $F_1, F_2 \in S$, для этих множеств существуют числа $N_1$ и $N_2$, такие, что данные подмножества не содержат арифметических прогресий длины больше, чем $N_1$ и $N_2$ соответственно.
1. Очевидно, что $F_1 \cap  F_2$ cодержит прогрессию длины не больше чем $\max\{N_1, N_2\}$, а это значит что пересечение любого набора множеств из $S$ есть множество из $S$.
3. $\varnothing, \mathbb N \in S$.
2. А вот с объединением не всё так просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Я не даром написал, что аксиомы задания топологии через замкнутые множества - другие. Подумайте, какие. Ответы на ваши вопросы в прошлой теме должны вас на это натолкнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:05 


23/05/14
33
main.c в сообщении #889323 писал(а):
1. Очевидно, что $F_1 \cap  F_2$ cодержит прогрессию длины не больше чем $\max\{N_1, N_2\}$

Оценка то верная и для пересечения конечного числа множеств сработает, но вот
main.c в сообщении #889323 писал(а):
а это значит что пересечение любого набора множеств из $S$ есть множество из $S$.

Если что-то выполнено для конечного набора множеств - это еще не значит, что оно выполнено для любого. Ваша оценка не позволяет сказать, что это выполнено для любого набора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:20 


22/07/12
560
demolishka в сообщении #889325 писал(а):
Я не даром написал, что аксиомы задания топологии через замкнутые множества - другие. Подумайте, какие. Ответы на ваши вопросы в прошлой теме должны вас на это натолкнуть.

Аксиомы:
1. Пересечение любого набора множеств из $S$ принадлежит $S$.
2. Объединение конечного набора множеств из $S$ принадлежит $S$.
3. Пустое множество и множество на котором определена топология принадлежат $S$.
Разве это не аксиомы задания топологии через замкнутые множества?
takeover в сообщении #889326 писал(а):
Если что-то выполнено для конечного набора множеств - это еще не значит, что оно выполнено для любого. Ваша оценка не позволяет сказать, что это выполнено для любого набора.

Частично согласен, но это пересечение, а значит количество элементов не больше, чем в исходных множествах (речь не только о конечных), и нет разницы, бесконечное пересечение или нет. Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Аксиомы правильные, просто вы проверяете для пересечения конечного числа множеств, с грубой оценкой(максимум - слишком уж много). Из ваших слов не следует, что для счетного числа подмножеств оценка верна. Поправьте оценку и используйте тот факт, что любое подмножество натуральных чисел ограничено снизу.
В чем затруднение в случае с объединением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:31 


22/07/12
560
demolishka в сообщении #889331 писал(а):
Аксиомы правильные, просто вы проверяете для пересечения конечного числа множеств, с грубой оценкой(максимум - слишком уж много). Из ваших слов не следует, что для счетного числа подмножеств оценка верна. Поправьте оценку и используйте тот факт, что любое подмножество натуральных чисел ограничено снизу.
В чем затруднение в случае с объединением?

А множества из набора могут быть и бесконечными так?
И не очень понятно, чем мне может помочь ограниченность снизу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Вам не важно какими могут быть множества из набора. Вам интересна только лишь их характеристика - число $N$. Ваша задача в том, чтобы из счетного числа таких характеристик подобрать одну(или показать ее существование) - характеристику для пересечения счетного числа соответствующих множеств, и в том, чтобы по конечному числу характеристик подобрать одну - характеристику для объединения соответствующих множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:37 


22/07/12
560
И по моему оценка максимум не грубая. Возьмём для простоты $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $\{1, 2, 3\}$, для них $N$ равно 5 и 3 соответственно. Для пересечения $N$ равно 5. И это лишь конечное пересечение конечных множеств. Так что оценка не грубая. Ну или я не так понимаю формулировку утверждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
У вас для множества $A$ характеристика $N_{1}$ и для множества $B$ характеристика $N_{2}$. Их пересечение содержится как и в $A$, так и в $B$. Так какую лучше характеристику взять для пересечения: $N_{1}$ или $N_{2}$? Конкретно в вашем примере - у вас множество в пересечении состоит из трех элементов, а вы его характеризуете числом 5. Как-то нехорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:49 


22/07/12
560
demolishka в сообщении #889338 писал(а):
У вас для множества $A$ характеристика $N_{1}$ и для множества $B$ характеристика $N_{2}$. Их пересечение содержится как и в $A$, так и в $B$. Так какую лучше характеристику взять для пересечения: $N_{1}$ или $N_{2}$? Конкретно в вашем примере - у вас множество в пересечении состоит из трех элементов, а вы его характеризуете числом 5. Как-то нехорошо.

Ой, что-то я маху дал :-) . Конечно лучше минимум взять. Но суть от этого нисколько не изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Разберитесь теперь с объединением. Опять возьмите множества $A$ и $B$ с характеристиками $N_{1}$ и $N_{2}$. Какую можно взять характеристику для их объединения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 00:58 


23/05/14
33
main.c в сообщении #889328 писал(а):
Частично согласен, но это пересечение, а значит количество элементов не больше, чем в исходных множествах (речь не только о конечных), и нет разницы, бесконечное пересечение или нет. Или я не прав?

Возьмем стандартную топологию на $\mathbb{R}$. Счетное пересечение открытых множеств открытым быть не обязано. Пример: $(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$. Пересечение всех таких множеств состоит только из нуля - замкнутое множество, но не открытое. Однако пересечение конечного числа открытых - открыто.
main.c в сообщении #889341 писал(а):
Ой, что-то я маху дал :-) . Конечно лучше минимум взять. Но суть от этого нисколько не изменится.

Как это не изменится! Это все в корне меняет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология и арифметические прогрессии.
Сообщение22.07.2014, 01:10 


22/07/12
560
demolishka в сообщении #889346 писал(а):
Разберитесь теперь с объединением. Опять возьмите множества $A$ и $B$ с характеристиками $N_{1}$ и $N_{2}$. Какую можно взять характеристику для их объединения?

$N_1+N_2$ можно взять.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group