2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Остаток от деления двух многочленов
Сообщение20.07.2014, 10:47 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Здравствуйте, уважаемые друзья!

Пусть $n>1$ и $n\mid p-1$, где $p$ - простое число. Доказать, что остаток от деления $x^p-x$ на $x^n-A$ есть $x(A^{\frac{p-1}{n}}-1)$

Попытка доказательства: Напишем это в таком виде $$x^p-x=x(x^{p-1}-1)=x(x^{p-1}-A^{\frac{p-1}{n}}+A^{\frac{p-1}{n}}-1)=x(x^{p-1}-A^{\frac{p-1}{n}})+x(A^{\frac{p-1}{n}}-1)$$так как $n\mid p-1$ и $n>1$, то $p-1=ns$ и первую скобку можно написать так: $$x^{p-1}-A^{\frac{p-1}{n}}=x^{ns}-A^{s}=(x^n-A)(x^{n(s-1)}+\dots+A^{s-1})$$ и отсюда понятно, что $x^{p-1}-A^{\frac{p-1}{n}}\equiv 0 \pmod {x^n-A}$ Итого получаем, что $$x^p-x\equiv x(A^{\frac{p-1}{n}}-1) \pmod{x^n-A}$$ Т.е. остаток от деления $x^p-x$ на $x^n-A$ есть $x(A^{\frac{p-1}{n}}-1) $ (условие $n>1$ играет существенную роль).

Скажите пожалуйста, является ли мое доказательство верным?
П.С. проверил при некоторых значениях и это действительно верно.

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления двух многочленов
Сообщение20.07.2014, 11:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8331
Whitaker в сообщении #888885 писал(а):
Итого получаем, что $$x^p-x\equiv x(A^{\frac{p-1}{n}}-1) \pmod{x^n-A}$$ Т.е. остаток от деления $x^p-x$ на $x^n-A$ есть $x(A^{\frac{p-1}{n}}-1) $
Полученное сравнение верно, а вывод - нет. Из того, что $8\equiv 5\pmod 3$ не следует, что $5$ - остаток от деления $8$ на $3$.
Если $a\equiv r\pmod m$ и $0\leqslant r<m$, то тогда $r$ - остаток от деления $a$ на $m$.

Или Вы имеете ввиду остаток - в смысле кольца многочленов? Если так, то верно и доказывается технически проще: $x^{p-1}\equiv (x^n)^{\frac{p-1}{n}}\equiv A^{\frac{p-1}{n}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления двух многочленов
Сообщение20.07.2014, 11:41 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Sonic86
Да я с Вами согласен. Когда мы делим многочлен $f(x)$ на многочлен $g(x)$ мы получаем: $f(x)=g(x)h(x)+r(x)$, где $\text{deg}r(x)<\text{deg}f(x)$
В нашем случае $f(x)=x^n-A$ и степень нашего остатка меньше чем $n$.

-- Вс июл 20, 2014 11:51:56 --

Если $f(x)\equiv r(x) \pmod{g(x)}$ и $\text{deg}r(x)<\text{deg}g(x)$ тогда $r(x)$ будет остатком. Вы согласны с этим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления двух многочленов
Сообщение20.07.2014, 12:03 
Заслуженный участник


08/04/08
8331
Whitaker в сообщении #888896 писал(а):
Если $f(x)\equiv r(x) \pmod{g(x)}$ и $\text{deg}r(x)<\text{deg}g(x)$ тогда $r(x)$ будет остатком. Вы согласны с этим?
Да.
Это меня просто чего-то переклинило на константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления двух многочленов
Сообщение20.07.2014, 12:05 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Sonic86
Ну вот у меня точно такие же рассуждения и тут.
Спасибо Вам за помощь! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group