2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критерий решения сравнения [Теория чисел]
Сообщение19.07.2014, 14:31 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Здравствуйте!

Пусть $p$ - простое число и $n>1$ -- делитель $p-1$ и $(A,p)=1$. Доказать, что сравнение $x^n\equiv A\pmod p$ разрешимо тогда и только тогда, когда $A^\frac{p-1}{n}\equiv 1\pmod p$.

Необходимость я доказал. Пусть сравнение разрешимо. Тогда $x_0^n\equiv A\pmod p$ и возводим это в степень $\frac{p-1}{n}$ и нетрудно показать, что $(x_0,p)=1$ и пользуясь малой теоремой Ферма получаем, что $A^\frac{p-1}{n}\equiv 1\pmod p$
А вот как доказать достаточность я что-то не могу. Как использовать условие $A^\frac{p-1}{n}\equiv 1\pmod p$ я не знаю.

Может подскажете полезную идею?

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий решения сравнения [Теория чисел]
Сообщение19.07.2014, 15:07 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Мультипликативная группа кольца $\mathbb{Z}_p$ циклическая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий решения сравнения [Теория чисел]
Сообщение19.07.2014, 15:15 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
AV_77
Это да! Такие мысли также были у меня, но не могу понять как это использовать со сравнением $A^{\frac{p-1}{n}}\equiv 1\pmod p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий решения сравнения [Теория чисел]
Сообщение19.07.2014, 15:31 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Пусть $\alpha$ - образующий. Тогда $A = \alpha^k$, причем из $A^{\frac{p-1}{n}} = 1$ следует, что $\alpha^{k \frac{p-1}{n}} = 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий решения сравнения [Теория чисел]
Сообщение19.07.2014, 18:51 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Ну да. А что это дает? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий решения сравнения [Теория чисел]
Сообщение19.07.2014, 19:55 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Как что? При этом $k \frac{p-1}{n} = s(p-1)$, откуда $k = sn$, то есть $k$ делится на $n$. Осталось в явном виде указать нужную степень порождающего элемента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий решения сравнения [Теория чисел]
Сообщение20.07.2014, 12:11 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
AV_77
Спасибо Вам! Теперь понятно. Что-то сам не допер до этого :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group