2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 22:36 
Аватара пользователя


11/06/12
6820
Минск
Vitalius в сообщении #888828 писал(а):
AspectRatio->1 не помогает
Так нужно выставлять AspectRatio -> Automatic, а не единицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 22:45 


02/08/12
131
Хорошо, вот картинка с автоматическим AspectRatio:

Изображение

Кажется красная кривая в этом вырожденном случае, является окружностью с центром в точке $(-4,0)$. Продолжения сторон $PQ$ и $RS$ четырёхугольника $PQRS$ проходят через центр красной окружности. "Распавшиеся" синяя кривая, похоже сделала это в сторону двух окружностей. При том одна из них описана вокруг четырёхугольника $PQRS$. Напоминаю, что решения систему квадратичных форм в данном случае таковы:

$(x_{P},y_{P})=(0,0)$; $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$; $(x_{R},y_{R})=(2,2)$; $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$;

$(x_{A},y_{A})=(-\frac{16}{15},\frac{8}{15})$; $(x_{B},y_{B})=(\frac{3}{5},-\frac{3}{10})$; $(x_{C},y_{C})=(\frac{13}{5},\frac{6}{5})$; $(x_{D},y_{D})=(-\frac{2}{5},\frac{26}{5})$; $(x_{K},y_{K})=(\frac{2}{5},\frac{4}{5})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 22:54 


05/09/12
2284
Vitalius не думаете, что на задворках вселенной вашего последнего чертежа есть второй красный эллипс? В случае с прямоугольником исходных точек - по паре прямая+окружность на каждое ГМТ.

ЗЫ если и дальше планируете вставлять по десятку полноразмерных картинок на страницу темы вместо маленьких превьюшек - прячьте их в оффтоп что-ли, пожалейте обладателей небольших экранов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 22:57 


12/02/14
808
Похоже на то... Случай явно вырожденный, т.к. окружность не описывается около произвольного четырёхугольника.Описанная окружность -- сиреневого цвета, т.е. красное наложено на синее. Надо пошевелить данные точки и посмотреть что получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 23:05 


02/08/12
131
mishafromusa в сообщении #888835 писал(а):
Похоже на то... Случай явно вырожденный, т.к. окружность не описывается около произвольного четырёхугольника.


Надо доказать, что вокруг четырёхугольника $PQRS$, где $(x_{P},y_{P})=(0,0)$, $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$, $(x_{R},y_{R})=(2,2)$, $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$, описывается окружность. Но похоже, что Вы правы, т.е. когда вокруг четырёхугольника $PQRS$ описывается окружность, кривые ГМТ, которое мы рассматриваем - вырождаются.

_Ivana в сообщении #888833 писал(а):
...ЗЫ если и дальше планируете вставлять по десятку полноразмерных картинок на страницу темы вместо маленьких превьюшек - прячьте их в оффтоп что-ли, пожалейте обладателей небольших экранов...


Извините, что у меня экран большой, но разве Ваш браузер не уменьшает автоматично размер картинок когда резолюция экрана маленькая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 23:27 


12/02/14
808
У Вас же есть критерий, когда 4 точки лежат на окружности, определитель помните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 23:37 


02/08/12
131
Да, помню.

Вот один красивый случай когда обе кривые находятся в узкой области:

$(x_{P},y_{P})=(0,0)$, $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$, $(x_{R},y_{R})=(2,4)$, $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$

Изображение

Изображение

Красная кривая задаётся уравнением $G_{PQRS}(x,y)=0$, а синяя - $G_{QRSP}(x,y)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 23:58 


05/09/12
2284
mishafromusa в сообщении #888835 писал(а):
Надо пошевелить данные точки и посмотреть что получится.

Код:
[0, 0; 1, 0; 1.8, 1.8; -1, 1]
- малое изменение начальных данных в данном случае приводит к малому изменению результата
Изображение

Код:
[0.1, 0.1; 1, 0; 2, 2; -1, 1]

Изображение

UPD а вот и я освоил contour plot в Матлабе, теперь нормально кривые выглядят. Полезная задача, на ней еще и символьные упрощения впервые попробовал. Может еще что-нибудь освоить с ее помощью? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение20.07.2014, 00:35 


02/08/12
131
Хорошо _Ivana. Интересно всё-таки, конкретно этот восьмипараметрический класс алгебраических крив 4 порядка на плоскости, до нас кто-то другой рассматривал или нет?

Кстати, видимо решение задачи ТС единственно для выпуклых четырёхугольников, ибо точка пересечения крив, которая находится внутри четырёхугольника $PQRS$, в этом случае одна единственная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение20.07.2014, 03:44 


12/02/14
808
Красивые картинки... А теперь нельзя ли добавить к ним все четыёхугольники, о которых спрашивалось в задаче, соответствующие всем пересечениям ГМТ? Каким (быть может вырожденным) четырёугольникам отвечают пересечения в данных в условиях задачи основаниях перпендикуляров?

-- 19.07.2014, 21:19 --

_Ivana в сообщении #888852 писал(а):
- малое изменение начальных данных в данном случае приводит к малому изменению результата
В данном случае -- да, т.к. все пересечения ГМТ трансверсальны, т.е. под ненулевыми углами, а сами ГМТ невырождены. А вот попробуйте сделать то же самое в вырожденном случае, когда все 4 заданные точки лежат на одной окружности и посмотрите что получится.

-- 19.07.2014, 21:23 --

Vitalius в сообщении #888856 писал(а):
Кстати, видимо решение задачи ТС единственно для выпуклых четырёхугольников, ибо точка пересечения крив, которая находится внутри четырёхугольника $PQRS$, в этом случае одна единственная.
Это более или менее понятно из геометрии пар касающихся окружностей, с которых мы начинали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение20.07.2014, 04:56 


12/02/14
808
Vitalius в сообщении #888847 писал(а):
Вот один красивый случай когда обе кривые находятся в узкой области:

$(x_{P},y_{P})=(0,0)$, $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$, $(x_{R},y_{R})=(2,4)$, $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$
Похоже, что пересечению ГМТ вне четырёхугольника $PQRS$ соответствует четырёхугольник с самопересечением.

-- 19.07.2014, 22:13 --

_Ivana в сообщении #888852 писал(а):
Полезная задача, на ней еще и символьные упрощения впервые попробовал. Может еще что-нибудь освоить с ее помощью? :-)
Интересно было бы сделать игрушку, в которой данные точки можно таскать мышкой и смотреть как меняются ГМТ, пары касающихся окружностей и четырёхугольники, соответствующие точкам пересечения ГМТ. Это несложно сделать в Mathematica, и я уверен, что это будет интересным добавлением к их Demonstration Project, Вот пример, который я когда-то написал: http://demonstrations.wolfram.com/MonodromyOfZNBZ10/

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение20.07.2014, 07:08 


01/12/11
975
Получил аналитическое выражение связи координат точек пересечения перпендикуляров и диагоналей в четырёхугольнике. Это система двух кубических уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение20.07.2014, 07:35 


12/02/14
808
Vitalius в сообщении #888856 писал(а):
Хорошо _Ivana. Интересно всё-таки, конкретно этот восьмипараметрический класс алгебраических крив 4 порядка на плоскости, до нас кто-то другой рассматривал или нет?
Скорее да, чем нет, но я лично не знаю. 4 параметра, соответствующие евклидовым движениям и изменениям масштаба, можно сразу выкинуть, останется всего 4.

-- 20.07.2014, 00:44 --

Skeptic, и как оно выглядит, это выражение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение20.07.2014, 14:24 


01/12/11
975
Выглядит это страшно: числитель - сумма восьми произведений трёх двучленов, знаменатель - сумма восьми произведений двух двучленов, каждое слагаемое двучлена содержит координату точек пересечения.

Vitalius, должны кривые в сообщении #888830 проходить через точку пересечения осей и перпендикуляров?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение20.07.2014, 14:41 


05/09/12
2284
mishafromusa в сообщении #888861 писал(а):
А вот попробуйте сделать то же самое в вырожденном случае, когда все 4 заданные точки лежат на одной окружности и посмотрите что получится.
Именно это я и попробовал. Картинки - результат малых отклонений от четырех окружностей.
mishafromusa в сообщении #888863 писал(а):
Похоже, что пересечению ГМТ вне четырёхугольника $PQRS$ соответствует четырёхугольник с самопересечением.
Ну уж вне не исходного, а получающегося четырехугольника - точно: Изображение
mishafromusa в сообщении #888863 писал(а):
Интересно было бы сделать игрушку, в которой данные точки можно таскать мышкой и смотреть
Спасибо, интересная идея.

Вот пример вырожденного четырехугольника - правая нижняя вершина улетает в бесконечность: Изображение

Если исходные 4 точки лежат на одной окружности, то вся эта окружность является решением системы (обе кривые ГМТ ее содержат), но при этом результирующий четырехугольник вырождается в точку на этой окружности, диаметрально противоположную точке, выбранной в качестве решения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 88 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group