2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 15:47 


05/09/12
2286
Пример части ГМТ для исходных точек
Код:
[-11, -7; -20, 13; 4, 10; 1, -8]
. Черные кружки - исходные точки, красный - решение, пересечения в исходных точках - лишние корни. Если нигде не ошибся. Смущает зеленая линия - не проходит через одну исходную точку.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 15:58 


12/02/14
808
Vitalius в сообщении #888750 писал(а):
Интересно можем ли представить функцию $G_{TUVW}(x,y)$ как определитель достаточно простой матрицы восьмого ранга?
А какой был бы от этого толк?

-- 19.07.2014, 09:09 --

_Ivana в сообщении #888751 писал(а):
Черные кружки - исходные точки
Это основания перпендикуляров к сторонам четырёхугольника, т.е точки, заданные в условии задачи, да? А почему ГМТ должны через них проходить? Похоже, что это не всегда так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 16:09 


02/08/12
132
Да толк был бы определенно. Очевидно $G_{TTVW}(x,y)=G_{TUVV}(x,y)=0$ для всех $x$ и $y$. Представление $G_{TUVW}(x,y)$ как определителя из матрицы восьмого порядка возможно поможет выявить другие случаи когда $G_{TUVW}(x,y)=0$ для всех $x$ и $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 16:27 


12/02/14
808
Vitalius в сообщении #888758 писал(а):
другие случаи когда $G_{TUVW}(x,y)=0$ для всех $x$ и $y$.
Но эти случаи неинтересны с для исходной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 19:58 
Заслуженный участник


04/05/09
4388
mishafromusa в сообщении #888755 писал(а):
Это основания перпендикуляров к сторонам четырёхугольника, т.е точки, заданные в условии задачи, да? А почему ГМТ должны через них проходить? Похоже, что это не всегда так.
Вроде должны проходить. Для каждой из этих точек можно построить соответствующие касающиеся окружности, причём только циркулем и линейкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 20:26 


12/02/14
808
Если данные основания перпендикуляров находятся в вершинах прямоугольника, то ГМТ касания -- средние линии этого прямоугольника, и они не проходят через вершины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 20:32 


02/08/12
132
Вот скрипт на Mathematica-е, с помощью которого можно изобразить кривые 4 порядка о чьих точек пересечения интересуемся

(Оффтоп)

Код:
dkx[r_, ra_,
   rb_] := {{2 r[[1]], 1, 0, 0}, {r[[1]]^2 + r[[2]]^2, r[[1]], r[[2]],
     1}, {ra[[1]]^2 + ra[[2]]^2, ra[[1]], ra[[2]],
    1}, {rb[[1]]^2 + rb[[2]]^2, rb[[1]], rb[[2]], 1}};
dky[r_, ra_,
   rb_] := {{2 r[[2]], 0, 1, 0}, {r[[1]]^2 + r[[2]]^2, r[[1]], r[[2]],
     1}, {ra[[1]]^2 + ra[[2]]^2, ra[[1]], ra[[2]],
    1}, {rb[[1]]^2 + rb[[2]]^2, rb[[1]], rb[[2]], 1}};
GTUVW[r_, rT_, rU_, rV_, rW_] :=
  Det[dkx[r, rT, rU]] Det[dky[r, rV, rW]] -
   Det[dky[r, rT, rU]] Det[dkx[r, rV, rW]];
r = {x, y};
rP = {-11, -7};
rQ = {1, -8};
rR = {4, 10};
rS = {-20, 13};
ContourPlot[{GTUVW[r, rP, rQ, rR, rS] == 0,
  GTUVW[r, rQ, rR, rS, rP] == 0}, {x, -100, 1000}, {y, -450, 550},
ContourStyle -> {Red, Blue}, PlotPoints -> 50]


В примере координаты точек $P$, $Q$, $R$ и $S$ те же самые, что и у _Ivana - соответственно $P(-11, -7)$, $Q(1, -8)$, $R(4, 10)$ и $S(-20,13)$. Кривые замкнуты. Область изменения $x$ и $y$ в примере выбрал так, чтобы были видны все две кривые. Само общее изображение выглядит так:

Изображение

Вот и интересующая нас область пересечения двух крив:

Изображение
без четырёхугольника $PQRS$

Изображение
вместе с четырёхугольником $PQRS$

И напоследок вся область пересечения двух крив (синяя кривая $G_{QRSP}(x,y)$ видна полностью):

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 21:21 


05/09/12
2286
mishafromusa в сообщении #888799 писал(а):
Если данные основания перпендикуляров находятся в вершинах прямоугольника, то ГМТ касания -- средние линии этого прямоугольника, и они не проходят через вершины.
Плюс окружность, описанная вокруг этого прямоугольника - для обеих кривых. Так что каждая кривая ГМТ тоже пересекает исходные точки.

-- 19.07.2014, 21:24 --

Vitalius, синяя кривая у меня такая же, красную (моя зеленая) не сравнивал, но скорее всего тоже та же - у меня возможно погрешности построения/округления... Только попросил бы вас в следующий раз устанавливать одинаковый масштаб по осям - так имхо пропорции фигур правильнее, а тем более углы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 21:36 


02/08/12
132
_Ivana в сообщении #888814 писал(а):
...Так что каждая кривая ГМТ тоже пересекает исходные точки...


_Ivana, именно это и наблюдается. Ваша зелёная кривая должна быть той же, что и моя красная. Вы ведь говорили, что сравнивали Ваши формулы для ГМТ о которм интересуемся, с теми, записанные через определителей, которые я написал. Сказали, что сравнение показало одно и тоже.

Всё-таки, мне кажется, что Mathematica лучше чертает, чем MatLab. Что скажете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 21:41 


12/02/14
808
А нельзя ли показать четырёхугольники, соответствующие точкам пересечения диагоналей, совпадающим с каким-нибудь из из данных оснований перпендикуляров? Один из этих перпендикуляров вырождается в точку. Что-то я утомился, разбирайтесь дальше сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 21:45 


05/09/12
2286
Vitalius Да, точнее Матлаб их сравнил и показал идентичность - мне было бы не так легко проверить руками такие формулы.
А про начертание кажу, что имхо в данном случае это зависит не от пакета, а от чертателя - я не придумал ничего лучше для построения кривой, как вычисление всех значений на прямоугольной сетке и вывод тех точек, значение функции в которых меньше порога. Подозреваю, что и на Матлабе при более оптимальном подходе можно начертать не хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 21:51 


02/08/12
132
_Ivana в сообщении #888820 писал(а):
...про начертание кажу, что имхо в данном случае это зависит не от пакета, а от чертателя - я не придумал ничего лучше для построения кривой, как вычисление всех значений на прямоугольной сетке и вывод тех точек, значение функции в которых меньше порога. Подозреваю, что и на Матлабе при более оптимальном подходе можно начертать не хуже.


Да, наверное. Mathematica пропорции по вертикали и горизонтали автоматически вставить не как 1:1. И это иногда неудобно. Вы же сказали, что лично Вам это не понравилось. И есть у Вас основания. Ибо для нас важно сохранение углов в чертежах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 21:56 


05/09/12
2286
mishafromusa, там получаются бесконечно удаленные точки - вершины получающегося четырехугольника. В моей системе изначально есть знаменатели - один из них обращается в ноль при таком случае, и эти точки не являются корнями. А в системе через определители знаменателей нет, моя система получается совпадающей только при избавлении от знаменателей.

-- 19.07.2014, 21:59 --

Vitalius в сообщении #888821 писал(а):
Вы же сказали, что лично Вам это не понравилось. И есть у Вас основания. Ибо для нас важно сохранение углов в чертежах.

Да, у меня есть некоторые основания - я когда только написал скрипт, полчаса искал ошибку в своем правильном коде, думал почему у меня перпендикуляры не перпендикулярные. Потом догадался, что это из-за автомасштаба по осям. С той поры обращаю на это пристальное внимание :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 22:09 


12/02/14
808
_Ivana в сообщении #888822 писал(а):
mishafromusa, там получаются бесконечно удаленные точки - вершины получающегося четырехугольника.
Т.е. это какие-то вырожденные случаи, когда вершины убегают на бесконечность, так? А в исходной задаче спрашивалось про настоящий четырёхугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 22:32 


02/08/12
132
Хм, оказывается есть случаи кривые "распадаются" на несколько пересекающихся кусков. Такое наблюдается для рационального решения системы квадратичных форм, которое дал раньше, а именно:

Vitalius в сообщении #888296 писал(а):
Написал скрипт на Mathematica-е, для исследования точных корней задачи TC. Скрипт основывается на системе квадратичных форм, которой предложил. Вот одно рациональное решение с "несиметричными" четырёхугольниками $PQRS$ и $ABCD$:

$(x_{P},y_{P})=(0,0)$; $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$; $(x_{R},y_{R})=(2,2)$; $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$;

$(x_{A},y_{A})=(-\frac{16}{15},\frac{8}{15})$; $(x_{B},y_{B})=(\frac{3}{5},-\frac{3}{10})$; $(x_{C},y_{C})=(\frac{13}{5},\frac{6}{5})$; $(x_{D},y_{D})=(-\frac{2}{5},\frac{26}{5})$; $(x_{K},y_{K})=(\frac{2}{5},\frac{4}{5})$.


Картинка с двумя кривыми вместе с четырёхугольником $PQRS$ в этом случае такова:

Изображение

Прошу прощения о том, что масштабы по вертикали и горизонтали разные! AspectRatio->1 не помогает ибо Mathematica вставить это отношение для концов изображения по горизонтали и вертикали. Так или иначе, видно, что синяя кривая "распадается" на две кривые. Может быть все 3 кривые в этом вырожденном случае - окружности?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 88 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group