2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 20:19 


10/06/13
93
Доказать, что оператор является линейный,ограниченный. Найти норму оператора.
$$F(x)=(t^3-1)\int_{0}^{1}x(s)ds,$$ $$X=C[0,1]. $$
линейность я доказал: $$F(x+y)=(t^3-1)\int_{0}^{1}(x(s)+y(s))ds=(t^3-1)(\int_{0}^{1}x(s)ds + \int_{0}^{1}y(s)ds)=Fx+Fy.$$
$$F(\lambda x)=(t^3-1)\int_{0}^{1}\lambda x(s) ds = \lambda (t^3-1)\int_{0}^{1}x(s) ds= \lambda F(x)$$

норма оператора в С[0,1]:
$$\Vert F(x)\Vert=\max_{t\in[0,1]}\vert(Fx)\vert=\max_{t\in[0,1]}\vert(t^3-1)\int_{0}^{1}x(s)ds\vert$ на этом месте я остановился, я знаю что нужно оценить с двух сторон, но вот как - не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 20:38 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А куда действует, тоже в $C[0,1]$?
Antichny в сообщении #885875 писал(а):
но вот как - не понимаю.

Ну многочлен же ж. Ищите себе его максимум, максимум модуля, что хотите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Antichny в сообщении #885875 писал(а):
норма оператора в С[0,1]:
$\| F(x)\| =\max\limits_{t\in[0,1]}\vert(Fx)\vert \ldots $
$\| x\|=?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 20:43 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dan B-Yallay
Он про норму $F(x)$, как я понимаю, а не про норму самого оператора пока. Хотя и напрасно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 20:46 


10/06/13
93
верна ли будет такая цепочка неравенств: $$\Vert F(x)\Vert=\max_{t\in[0,1]}\vert(Fx)\vert=\max_{t\in[0,1]}\vert(t^3-1)\int_{0}^{1}x(s)ds\vert\le \min_{t\in[0,1]}\vert(t^3-1)\vert\max_{s\in[0,1]}\vert\int_{0}^{1}x(s)ds\vert\le\Vert x \Vert\max_{s\in[0,1]}\int_{0}^{1}ds \le$$\le \Vert x \Vert$$$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 20:48 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Пока все хорошо. Только минимум там зачем, у Вас же все по модулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 20:54 


10/06/13
93
а что дальше делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 21:00 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну и что уже на этот момент можно сказать про норму оператора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 21:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Otta в сообщении #885897 писал(а):
Пока все хорошо. Только минимум там зачем, у Вас же все по модулю.


Вообще-то нехорошо: то, что с минимумом не просто ненужное но и делает цепочку неправильной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 21:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Red_Herring

(Оффтоп)

Если быть дотошным, то да. Но это легко устранить, а и на ошибку указано.
На самом деле, я сперва этого просто не заметила, дописывала потом. Исправит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 21:52 


10/06/13
93
Otta, а что с минимумом не так, объясните, если вам не сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 21:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А откуда он там? Чем Вы руководствовались?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 22:00 


10/06/13
93
я подумал, что если поставить минимум, то выражение $|(t^3-1)|\le 1$ и я смогу его отбросить при дальнейшей оценке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 22:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Не, не годится. Жило-было выражение. Нужно было оценить его максимум. А мы взяли, один из сомножителей заменили на минимум и сказали, что то, что получилось, больше, чем то, что было.
Оцените аккуратнее в этом месте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора
Сообщение09.07.2014, 22:19 


10/06/13
93
Otta, то есть в том месте должно быть $... \le \max_{t\in[0,1]}|(t^3-1)|\max_{t\in[0,1]}|\int_{0}^{1}x(s)ds|\le...$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group