2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нелинейный дифур. Посоветуйте литературу.
Сообщение09.07.2014, 11:29 


20/08/13
32
Добрый день. Возникла такая проблемка. Есть уравнение второго порядка нелинейное, нестационарное, очень плохое. Сопсно вот:
$\ddot{\varphi} + \gamma \dot{\varphi} + \xi \sin{\omega t} \sin{\varphi} = 0,$
$\xi, \gamma, \omega$ --- постоянные. Аналитическое решение имеет наврятли, но и не так важно.

Моделирование показало, что имеется три режима в зависимости от соотношения констант (фазовые траектории выложу вечером, когда доберусь до домашнего компа):
1) Затухающий --- со временем решение приходит к $\varphi \rightarrow n\pi, \dot{\varphi} \rightarrow 0$.
2) Колебательный --- фазовая траектория весьма сложна и неразборчива (выложу вечером).
3) Следующий --- фазовая траектория представляет собой выход на некоторый колебательный режим вида $\dot{\varphi} = \omega + \sin{\omega' t}$. Прямая подстановка ничего не дала, решением очевидно не является, а про приближенное я не догнал.

Собственно вопрос в том: кто-нить сталкивался с подобным? Нужны условия перехода в той или иной режим. Литературу, где почитать про это можно?

И да, где-то я видел, что уравнение типа $y'' = b \sin y$ допускает аналитическое решение. А что там за подстановка была и как быть с ур-м $\ddot{\varphi} + \gamma \dot{\varphi} + \xi \sin{\varphi} = 0$?

Если вдруг кто посоветуе хорошую литературу -- большое спасибо!

P.S. И да, конечно есть какая-то зависимость от начальных условий при выходе на тот или иной режим, но в самой модели я по очевидным физическим причинам ввожу слабый белый шум, который обеспечивает выход на тот или иной режим при заданных начальных условиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейный дифур. Посоветуйте литературу.
Сообщение09.07.2014, 12:10 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Это очень похоже на негармоническую осциллятор с затуханием. По идее, можно получить условия на реализацию того или иного режима из физических соображений. Что-то более строгое сделать вряд ли удастся - эта штука сильно напоминает усложненный осциллятор Дуффинга, а уже там все очень плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейный дифур. Посоветуйте литературу.
Сообщение09.07.2014, 16:20 


10/02/11
6786
без потери общности можно считать, что $\omega =1$
исследовать устойчивость решений $\varphi=0,\pi\pmod{2\pi}$ можно попробовать с помощью первого метода Ляпунова, вычисляя на компьютере мультипликаторы. (Демидович, Лекции по математической теории устойчивости)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейный дифур. Посоветуйте литературу.
Сообщение09.07.2014, 16:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MacSinus в сообщении #885682 писал(а):
И да, где-то я видел, что уравнение типа $y'' = b \sin y$ допускает аналитическое решение. А что там за подстановка была и как быть с ур-м $\ddot{\varphi} + \gamma \dot{\varphi} + \xi \sin{\varphi} = 0$?

Это -- автономные уравнения и потому допускают понижение порядка заменой $y'(t)=p(y)$ и, соответственно, $\varphi'(t)=p(\varphi)$. Разница в том, что в первом случае переменные после такой замены разделяются, а во втором -- нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейный дифур. Посоветуйте литературу.
Сообщение10.07.2014, 00:11 


10/02/11
6786
MacSinus в сообщении #885682 писал(а):
уравнение второго порядка нелинейное, нестационарное, очень плохое. Сопсно вот:
$\ddot{\varphi} + \gamma \dot{\varphi} + \xi \sin{\omega t} \sin{\varphi} = 0,$

сдается мне, что это уравнение маятника с вибрирующей точкой подвеса и вязким трением. а Вы там часом силу тяжести не забыли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейный дифур. Посоветуйте литературу.
Сообщение10.07.2014, 16:13 


10/02/11
6786
Рассмотрим задачу в следующей постановке $\omega=1,\quad \xi=a\epsilon,\quad \gamma=b\epsilon$ где
$a,b,\epsilon$ -- параметры, причем $b,\epsilon>0$ и $\epsilon$ -- мало:
$$\ddot{\varphi} +b\epsilon \dot{\varphi} +a\epsilon\sin{ t} \sin{\varphi} = 0$$
Это означает, что вязкость мала, амплитуда колебаний точки подвеса тоже мала.

Cделаем замену переменных: $\varphi= t+\psi$ :
$$\ddot\psi+b\epsilon+b\epsilon\dot\psi+a\epsilon\sin t\sin( t+\psi)=0\quad (*)$$
и усредним по $t$:
$$\ddot\psi+b\epsilon+b\epsilon\dot\psi+a\epsilon\frac{1}{2}\cos\psi=0\qquad (**)$$

Из общих теорем следует, что решение системы (**) и решение системы (*) с одинаковыми начальными данными остаются $\epsilon-$близкими на интервале времени порядка $1/\epsilon$.

Система (**) представляет собой натуральную гамильтонову систему с потенциалом
$$V(\psi)=\epsilon\Big(b\psi+\frac{a}{2}\sin\psi\Big),$$
находящуюся под действием вязкого трения $b\epsilon\dot\psi$.

Разглядывание потенциала $V$ при различных значениях параметров и построение фазового портрета усредненной системы представляет некоторый интерес.

-- Чт июл 10, 2014 16:19:36 --

при достаточно малых $\epsilon$, невырожденным $2\pi$- периодическим решениям усредненной системы соответствуют $2\pi$-периодические решения системы (*)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейный дифур. Посоветуйте литературу.
Сообщение16.07.2014, 14:21 


10/02/11
6786
Что характерно для данного форума: вот эта глубоко нетривиальная и богатая эффектами задача исследовательского уровня ни кого не заинтересовала. Ну куда же подевались вдруг все спецы по анализу , дифференциальным уравнениям и динамическим системам? :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group