2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Функции Грина
Сообщение07.07.2014, 19:07 


07/06/11
1890
Здравствуйте, подскажите по нескольким вопросам, связанным с функциями Грина.

Для начала, пусть есть скалярное поле $$\square \varphi + m^2 \varphi =j ~.$$
Решение этого уравнения $\varphi=\varphi_0+G * j$, где $\square \varphi_0=0$, а $G$ -- функция Грина: $$ (\square+m^2) G( t, \vec r) = \delta^4 (t, \vec r) ~. $$

Решая это уравнение неизбежно приходим к следующему выражению для функции Грина
$$ G(t,\vec r) = \cfrac{i}{8\pi^3} ~\cfrac{1}{r}~ \int\limits_{-\infty}^\infty k e^{-kr} ~ dk ~\int\limits_{-\infty}^\infty d \omega ~ \cfrac{e^{- i \omega t}}{\omega^2 - (\sqrt{k^2 + m^2})} $$
и тут начинаются непонятные вещи.

Во-первых, на сколько я помню, интегралы от функций $1/x$ расходятся. Я прав?

Во-вторых, если интегралы действительно расходятся, то значение интеграла начинает определяться тем, как мы его считаем. Так почему мы вычисляем интегралы в функции Грина именно сдвигая полюсы?( Просьба ответы "считаем так, потому что получаем верный ответ" не предлагать). Есть ли за этим физика?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение07.07.2014, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Есть.

Давайте посмотрим на другое волновое уравнение: $\square\varphi=j.$ Это Д'Аламбер, например, волновое уравнение для электромагнитного поля. У него есть функция Грина, всё точно так же: $\squareG(t,\mathbf{r})=\delta^4(t,\mathbf{r}).$ И вот, если посмотреть на неё, то мы увидим, что на самом деле этому уравнению удовлетворяют два решения: опережающая и запаздывающая волна. Запаздывающая распространяется по световому конусу будущего, опережающая - по световому конусу прошлого. Запаздывающую мы хорошо знаем из решения уравнений Максвелла в запаздывающих потенциалах. А опережающую легко понять, если заметить, что уравнение просто симметрично по времени.

И на самом деле, кроме этих двух решений, уравнению удовлетворяет любая их единичная линейная комбинация.

И вот в интеграле на комплексной плоскости этой неоднозначности соответствует как раз обход полюса слева, или справа, или "посередине", или с наворачиванием вокруг него какого-то числа оборотов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение07.07.2014, 20:41 


07/06/11
1890
Munin в сообщении #885049 писал(а):
И вот, если посмотреть на неё, то мы увидим, что на самом деле этому уравнению удовлетворяют два решения: опережающая и запаздывающая волна.

Подождите, что-то вот этого я не вижу. Там тоже будет интеграл вид $$ \int \cfrac{e^{-i \omega t}}{(\omega-k)(\omega+k)} ~ d \omega $$ в котором две особенности тип $1/x$. Или формулы Сохоцкого тут все разрешат?

Munin в сообщении #885049 писал(а):
И вот в интеграле на комплексной плоскости этой неоднозначности соответствует как раз обход полюса слева, или справа, или "посередине", или с наворачиванием вокруг него какого-то числа оборотов.

Вот это тоже не понял. В каком смысле "соответствует обход"? И, опять же, почему обход, а не сдвиг полюсов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение07.07.2014, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EvilPhysicist в сообщении #885055 писал(а):
Подождите, что-то вот этого я не вижу.

А вот деталей я сам не знаю, я это место прогуливал :'-(
Давайте вместе разбираться.

EvilPhysicist в сообщении #885055 писал(а):
Вот это тоже не понял. В каком смысле "соответствует обход"? И, опять же, почему обход, а не сдвиг полюсов.

Пренебрежимо малый сдвиг полюса (при условии, что интегрирование идёт по действительной оси) - это то же самое, что обход полюса с какой-то стороны.

-- 07.07.2014 21:51:09 --

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 05:09 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
EvilPhysicist в сообщении #885012 писал(а):
Во-вторых, если интегралы действительно расходятся, то значение интеграла начинает определяться тем, как мы его считаем. Так почему мы вычисляем интегралы в функции Грина именно сдвигая полюсы?
Насколько я помню, если полюсы лежат на действительной оси, надо писать полувычеты ($\pi i\operatorname{Res}(\omega_1) + \pi i\operatorname{Res}(\omega_2)$).
Как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 09:35 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
DimaM в сообщении #885163 писал(а):
Насколько я помню, если полюсы лежат на действительной оси, надо писать полувычеты ($\pi i\operatorname{Res}(\omega_1) + \pi i\operatorname{Res}(\omega_2)$).
Как-то так.
Это чтобы найти главное значение. В данном случае речь о главном значении не идёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 10:00 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
EvilPhysicist в сообщении #885012 писал(а):
Во-вторых, если интегралы действительно расходятся, то значение интеграла начинает определяться тем, как мы его считаем. Так почему мы вычисляем интегралы в функции Грина именно сдвигая полюсы?



Как известно, чтобы однозначно определить решение дифференциального уравнения, нужны граничные условия. Можно показать, что определение того или иного правила обхода полюсов (или сдвига полюсов --- нет разничы если сдвиг мал) эквивалентно заданию граничных условий (не самых общих, но все же). Посчитайте чему равна разность решений с разными правилами обхода полюсов. Увидите, что это решение однородного уравнения. Общее же решение неоднородного линейного уравнения есть сумма любого частного плюс общее решение однородного. Т.е. вся игра с правилами обхода полюсов это выбор того или иного решения однородного уравнения, которое мы прибавляем к частному решению неоднородного.

В макрофизике можно еще проще. Достаточно вспомнить, что всегда имеется затухание. А затухание как раз и смещает полюса. Но такой номер проходит только для запаздывающей функции Грина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 10:10 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
EvilPhysicist в сообщении #885012 писал(а):
Решая это уравнение неизбежно приходим к следующему выражению для функции Грина
Что касается нарушения последовательности и логики, то проблема, видимо, как раз в этих словах. Правильнее будет сказать что-то вроде "решая это уравнение неизбежно приходим к следующему выражению для функции Грина, где интегрирование производится в обход полюсов".

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 11:15 


07/06/11
1890
Alex-Yu в сообщении #885202 писал(а):
Как известно, чтобы однозначно определить решение дифференциального уравнения, нужны граничные условия.

Хорошо, то есть мы доходим до места
$$ G(t,\vec r) = \cfrac{i}{8\pi^3} ~\cfrac{1}{r}~ \int\limits_{-\infty}^\infty k e^{-kr} ~ dk ~\int\limits_{-\infty}^\infty d \omega ~ \cfrac{e^{- i \omega t}}{\omega^2 - (\sqrt{k^2 + m^2})} $$
и дальше говорим, что для снятия неопределенности надо использовать граничные условия. Так?

Если мы задаем условия на поверхности $t=0$ и бесконечности будущего это называем запаздывающей функцией. Если на $t=0$ и бесконечности прошлого -- опережающей. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 11:20 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
EvilPhysicist в сообщении #885233 писал(а):
Если мы задаем условия на поверхности $t=0$ и бесконечности будущего это называем запаздывающей функцией. Если на $t=0$ и бесконечности прошлого -- опережающей. Так?



Не совсем так. Для полубесконечного интервала ТАК эта задача вообще не решается. Такое решение ТОЛЬКО для случая бесконечного интервала с физически разумными граничными условиями (в частности нулевого на плюс или минус бесконечности по времени --- соответственно запаздывающая и опережающая ФГ, а есть еще казуальная). В общем же случае пишите интеграл И ПРИБАВЛЯЙТЕ к нему общее решение однородного уравнения. Тогда вообще никакой разницы как Вы будете считать интеграл. Разные варианты это лишь переброска какого-то частного решения однородного уравнения из интеграла в общее решение однородного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 11:26 


07/06/11
1890
Alex-Yu в сообщении #885235 писал(а):
В общем же случае пишите интеграл И ПРИБАВЛЯЙТЕ к нему общее решение однородного уравнения.

Вы это хотите сказать
EvilPhysicist в сообщении #885012 писал(а):
Решение этого уравнения $\varphi=\varphi_0+G * j$


Alex-Yu в сообщении #885235 писал(а):
Такое решение ТОЛЬКО для случая бесконечного интервала с физически разумными граничными условиями.

То есть запаздывающая функция, когда в прошлом "не было ничего", а в будущем "стало все"? А опреежающая наоборот: в прошлом "все", в будущем "ничего"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 11:28 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
EvilPhysicist в сообщении #885240 писал(а):
То есть запаздывающая функция, когда в прошлом "не было ничего", а в будущем "стало все"? А опреежающая наоборот: в прошлом "все", в будущем "ничего"?


Ну можно и так сказать.

-- Вт июл 08, 2014 15:29:26 --

EvilPhysicist в сообщении #885240 писал(а):
Вы это хотите сказатьEvilPhysicist в сообщении #885012
писал(а):
Решение этого уравнения $\varphi=\varphi_0+G * j$



Да. Только не просто решение, а общее решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 11:33 


07/06/11
1890
Хоршор
Alex-Yu в сообщении #885242 писал(а):
Ну можно и так сказать.

Хорошо. Тогда промежуточный результат.
1) Ставится задача $(\square+m^2)\phi = j$
2) Ее общее решение $\phi = \phi_0 + G * j$, где $\phi_0$ -- решение однородного ур-ня, $G$ -- функция Грина
3) Функцию Грина без граничных условий не посчитать
4) В зависимости от граничных условий сдвигаем полюса и получаем или запаздывавшую или опережающую функции Грина.

Поправьте, если не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EvilPhysicist в сообщении #885248 писал(а):
3) Функцию Грина без граничных условий не посчитать

Посчитать. Но неоднозначно. С точностью до слагаемого $\phi_0.$ Потому что для задачи $(\square+m^2)G=A\delta$ общее решение тоже будет складываться из $\phi_0+A\phi_1.$

-- 08.07.2014 12:52:40 --

А граничные условия - способ этот произвол убрать. Но хочу подчеркнуть: один из способов. Удобный. Но по словам Alex-Yu может сложиться впечатление, что вообще единственный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции Грина
Сообщение08.07.2014, 11:57 


07/06/11
1890
Munin в сообщении #885269 писал(а):
Посчитать. Но неоднозначно.

Думал, что в контексте это одно и тоже, но ладно.

Munin в сообщении #885269 писал(а):
А граничные условия - способ этот произвол убрать. Но хочу подчеркнуть: один из способов.

А другие какие?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group