2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойство винеровского процесса.
Сообщение06.07.2014, 21:35 


04/07/14
9
Как найти математическое ожидание времени пребывания траектории винеровского процесса над прямой $y=t$?

Я пытаюсь найти функцию плотности.
Пусть $\tau$ -- случайная величина, ожидание которой нужно найти.
Пусть $a, b$ -- какие-то точки, $0\leq a<b<\infty$.
Зададим последовательность $t_k, 1\leq k\leq n: t_0=a, t_1=a+\frac{b-a}{n}, t_2=a+2\times\frac{b-a}{n},\ldots,t_n=b$.

Тогда
$P\left(\forall t\in\left(a,b\right): W_t>t\right)=\lim\limits_{n\to\infty}P\left(\forall k: W_{t_{k+1}}-W_{t_k}>\frac{b-a}{n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=0}^{n-1}P\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}>\frac{b-a}{n}\right)$.

По определению, приращение винеровского процесса является случайной величиной с нормальным распределением, имеющим нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную приращению времени. Поэтому

$\forall k: P\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}>\frac{b-a}{n}\right)=1-\chi_{\frac{n}{b-a}}$,

где $\chi_x$ -- квантиль стандартного нормального распределения в точке $x$, то есть $\chi_x=P\left(N(0,1)<x\right)$

Получается, что
$P\left(\forall t\in\left(a,b\right): W_t>t\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\chi_{\frac{n}{b-a}}\right)^n$.

Как из этого можно построить функцию плотности для $\tau$?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.07.2014, 22:14 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.


 i  Тема возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство винеровского процесса.
Сообщение07.07.2014, 13:51 


04/07/14
9
Хотя, очевидно, что последний предел равен нулю. Как-то нужно оценить вероятность попадания точек $a,b$ в какой-то интервал. Как это можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство винеровского процесса.
Сообщение08.07.2014, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
askmyhat в сообщении #884691 писал(а):
Зададим последовательность $t_k, 1\leq k\leq n: t_0=a, t_1=a+\frac{b-a}{n}, t_2=a+2\times\frac{b-a}{n},\ldots,t_n=b$.

Тогда
$P\left(\forall t\in\left(a,b\right): W_t>t\right)=\lim\limits_{n\to\infty}P\left(\forall k: W_{t_{k+1}}-W_{t_k}>\frac{b-a}{n}\right)$.

Это почему?

askmyhat в сообщении #884691 писал(а):


где $\chi_x$ -- квантиль стандартного нормального распределения в точке $x$, то есть $\chi_x=P\left(N(0,1)<x\right)$


Вы определение квантили вообще знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство винеровского процесса.
Сообщение10.07.2014, 00:23 


04/07/14
9
Действительно, перепутали термины. И равенство неверное написал. Заучился совсем.
Зато нашёл решение задачи.

$\tau=\int\limits_0^\infty I\left(W_t>t\right)dt$.

Далее применяем теорему Фубини о перестановке интегралов и равенство для неотрицательных случайных величин
$\mathbb{E}X=\int\limits_0^\infty P\left(X>t\right)dt$,
которое можно получить из определения математического ожидания с помощью интегрирования по частям и того факта, что $1-F_X=o\left(\frac{1}{x}\right)$, при $x\to\infty$.

$\mathbb{E}\tau=\mathbb{E}\left(\int\limits_0^\infty I\left(W_t>t\right)dt\right)=\int\limits_0^\infty\mathbb{E}\left(I\left(W_t>t\right)\right)dt=\int\limits_0^\infty P\left(W_t>t\right)dt=\int\limits_0^\infty\frac{1}{2}P\left(N^2>t\right)dt=\frac{1}{2}\mathbb{E}\left(N^2\right)=\frac{1}{2}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group