2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 15:35 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Элементарными преобразованиями строк называют:

Цитата:
перестановку местами любых двух строк матрицы;
умножение любой строки матрицы на константу $k\!, k \neq 0\!$;
прибавление к любой строке матрицы другой строки.


Почему часто говорят, что эти преобразования справедливы для строк, но ничего не говорят, верны ли эти утверждения для столбцов? Метод так и называется Элементарные преобразования строк. Но ведь тоже самое справедливо для столбцов.

Видимо о столбцах не говорят умышленно. Их что, трогать не комильфо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Кому как нравится

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 16:12 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
М-да. Под маской справедливых преобразований скрывались злобные и людоедские. Ви таки об чём изволите рассуждать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Идея очень простая. К столбцам всё то же самое относится. Но вы сначала со строками разберитесь :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Вероятно, где-то около начала было сказано что-нибудь типа "поскольку строки и столбцы матрицы равноправны, все свойства, доказанные для строк, справедливы также и для столбцов; поэтому мы дальше будем говорить только о строках, имея в виду, что для столбцов это тоже верно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
kis в сообщении #884165 писал(а):
Видимо о столбцах не говорят умышленно. Их что, трогать не комильфо?


А зачем Вам нужны элементарные преобразования строк? Какая цель? Ответьте на этот вопрос сначала. И, кстати, как называется тот раздел учебника, в котором Вы взяли то определение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Уточнение: элементарные операции над строками матрицы $M$ производятся умножением на неё слева квадратных матриц специального вида. Элементарные операции над столбцами матрицы $M$ производятся умножением на неё аналогичный квадратных матриц уже справа. (Матрицы аналогичные, а не те же самые, потому что $M$ может быть не квадратной, и тогда эти матрицы элементарных операций - будут разных размеров.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Как уже намекнул Red_Herring, уравнения принято записывать в строчку, а не в столбец.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Эх, вот если бы матрицы тоже было принято записывать в строчку!

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 20:59 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
kis в сообщении #884165 писал(а):
Видимо о столбцах не говорят умышленно. Их что, трогать не комильфо?
Да, если это матрица СЛАУ. Многие предпочитают такие методы решения систем $Ax=b$, которые «не трогают» вектор $x$, не заменяют его таким $x'$, в котором неизвестные переставлены. Иначе приходится ещё запоминать, какой сейчас порядок неизвестных в векторе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 21:10 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #758548 писал(а):
Пусть имеется матрица $A=(a_i^j)$. Поставим ей в соотвентствие векторы $v_k=a_k^se_s$, где $\{e_s\}$ -- базис пространства. Т.е. $k$-ый столбец матрицы это координаты вектора $v_k$

1) Умножение $i$-ой строки матрицы на $\lambda\ne 0$ это соответствует переходу к новому базису $e_l=e'_l$ при $l\ne i$ и $e_i=\lambda e'_i$

2) Добавлению $p-$строки к $m$-строке соотвествует переход к базису $e_p=e'_p+e'_m,\quad e'_i=e_i,\quad i\ne p$

3) поменять местами две строки -- сами догадайтесь какому преобразованию базиса это соответствует.

Из этого наблюдения, например, следует, что если несколько столбцов матрицы линейно независимы, то они и останутся таковыми после элементарных преобразований строк. -- Переход к новому базису не влияет на линейную зависимость векторов

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 21:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Oleg Zubelevich
Почему оффтоп? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 21:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kis в сообщении #884165 писал(а):
Почему часто говорят, что эти преобразования справедливы для строк, но ничего не говорят, верны ли эти утверждения для столбцов?

Для простоты ради.

Потому, что преобразования строк абсолютно безобидны -- это попросту соответствующие операции над уравнениями.

Со столбцами уже сложнее. Их перестановки требуют переобозначения переменных, за которыми следить -- некоторая морока. С другой стороны, теоретически такие перестановки не так уж и необходимы, поэтому обычно и заминаются для краткости.

Практически -- вопрос другой, для практических вычислений перестановки столбцов практически же и необходимы, и при щепетильной постановке курса всегда оговариваются. (Именно перестановки; линейные операции над столбцами так никому и не нужны, если не говорить о каких-то специальных алгоритмах; а вот перестановки -- необходимы.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Какие вы все телепаты. Сказано же: матрицы! А про СЛАУ ничего не сказано.

(P. S. СЛАУ можно записать и в виде $x^\mathrm{T}A=b^\mathrm{T}.$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?
Сообщение05.07.2014, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Если нас интересует ранг матрицы, то можно преобразовывать и в хвост и в гриву (т.е. и столбцы, и строки).

То же, если считаем определитель (только вот некоторые из элементарных преобразований придется не то чтобы совсем убрать, но брать на заметку).

Если решаем СЛАУ записанных в строки, то столбцов обычно лучше не трогать. Если решаем СЛАУ записанных в столбцы, то все наоборот.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group