2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение03.07.2014, 13:27 


28/12/10
23
Приветствую!
Известен факт, что любое аффинное преобразование плоскости является композицией некоторого ортогонального преобразования и двух сжатий к взаимно перпендикулярным прямым.
Но вот вопрос - как искать такое представлени? Например как разложить такое аффинное преобразование $
\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 
0 & 1 \end{array} \right)$ в виде композиции ортогонального и сжатий?
Композиция сжатий вдоль осей является диагональной матрицей, ортогональное преобразование задаётся ортогональной матрией. Мне приходит на ум только в лоб искать нужные матрицы:
$
\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 
0 & 1 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{cc} d_1 & 0 \\ 
0 & d_2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 
c & d \end{array} \right)$, где матрица $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 
c & d \end{array} \right)$ является ортогональной.
Но как-то решение у него не ищется. Подскажите как в общем случае это делается, ну или в данном конкретном.

-- Чт июл 03, 2014 17:00:23 --

Если начать искать матрицы, которые удовлетворяют равенству, то получим $a=b, c=0$, то есть такую вторую матрицу из правой части \left( \begin{array}{cc} a & a \\ 
0 & d \end{array} \right), а она заведомо не может быть ортогональной. Это доказывает что избранный мной подход не верен. Но как быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение03.07.2014, 14:04 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Прочитайте где-нибудь про полярное разложение линейного оператора, первый и второй сингулярный базис. Это есть, например, в книге Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение03.07.2014, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ортогональная матрица $2\times 2$ имеет общий вид
$$\begin{pmatrix}\hphantom{+}c&\hphantom{+}s\\\mp s&\pm c\end{pmatrix},$$ где $c^2+s^2=1,$ или $c=\cos\theta,\quad s=\sin\theta$ для некоторого $\theta.$ В таком виде её и ищите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение04.07.2014, 14:19 


28/12/10
23
Munin в сообщении #883562 писал(а):
Ортогональная матрица $2\times 2$ имеет общий вид
$$\begin{pmatrix}\hphantom{+}c&\hphantom{+}s\\\mp s&\pm c\end{pmatrix},$$ где $c^2+s^2=1,$ или $c=\cos\theta,\quad s=\sin\theta$ для некоторого $\theta.$ В таком виде её и ищите.

На самом деле нет разницы в каком виде искать ортогональную матрицу. Если по вашему, то получаем $d_1c=1, d_1s = 1, \mp d_2s=0, \pm d_2c=1$. Имеем, что $s = 0$, так как $d_2\neq0$, противоречие с тем, что $d_1s = 1$. Очевидно надо искать разложение в каком-то другом виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение04.07.2014, 15:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Eldar в сообщении #883529 писал(а):
Композиция сжатий вдоль осей является диагональной матрицей, ортогональное преобразование задаётся ортогональной матрией. Мне приходит на ум только в лоб искать нужные матрицы:
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\  0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$, где матрица $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ является ортогональной.
Вот здесь у Вас ошибка: такое разложение исходной матрицы не гарантируется, интерпретация полярного разложения линейного оператора в матричной форме выглядит не так. А как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение04.07.2014, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Eldar в сообщении #883867 писал(а):
На самом деле нет разницы в каком виде искать ортогональную матрицу.

Я вам помочь хочу. Вы явно тыкнулись не туда, я показываю правильную дорогу.

Хотите - ищите ортогональную матрицу в произвольном виде. Но у вас же не получается!

Eldar в сообщении #883867 писал(а):
Имеем, что $s = 0$, так как $d_2\neq0$, противоречие с тем, что $d_1s = 1$.

Ну вот, видите, с предложенным мной видом - моментально разобрались. Да, противоречие. Таких диагональной и ортогональной матриц не существует.

А то, что я указал наиболее общий вид произвольной ортогональной $2\times 2$ матрицы, можете проверить сами.

Eldar в сообщении #883867 писал(а):
Очевидно надо искать разложение в каком-то другом виде.

    nnosipov в сообщении #883890 писал(а):
    Вот здесь у Вас ошибка: такое разложение исходной матрицы не гарантируется

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение04.07.2014, 22:36 


28/12/10
23
Попробую быть более конкретным. Сформулированный в шапке факт можно прочитать, например тут на странице 647 предложение 1. Если вдоваться в доказательство, то надо как-то найти пару ортогональных векторов, таких что их образы ортогональны, а потом сжимать вдоль них. Пока не понятно как искать такую пару.

Матрицу оператора можно разложить в сингулярное разложение $A = U\Lambda V^T$. Геометрический смысл SVD похож на то, что постулируется в предложении 1, но он иной. Там есть пара диагональных и ортогональная, а тут пара ортогональных и диагональная. И вообще какая-то не очевидная связь получается. И да, в SVD я таки разложил эту матрицу.

Вопрос то изначально простой, в каком виде искать получающееся разложение оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение04.07.2014, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тогда вы попросту ошиблись в том, какого вида искать матрицы. У вас "сжимающая" матрица должна быть не диагональной, а эрмитовой (самосопряжённой) произвольного вида. Такие матрицы имеют общий вид
$$\begin{pmatrix}d_{11}&d_{12}\\d_{12}&d_{22}\end{pmatrix},$$ обратите внимание на равенство побочно-диагональных элементов.

Теперь вы сможете найти решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение05.07.2014, 02:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Eldar в сообщении #884017 писал(а):
Пока не понятно как искать такую пару.
Потому что Вы читаете какие-то допотопные изложения, да ещё и только для 2- и 3-мерного случаев. Читайте Беклемишева, чтобы разобраться в общем случае.

Впрочем, геометрически на плоскости дело обстоит так: нужно посмотреть, в какой эллипс данный оператор отправляет единичную окружность; так вот, главные оси этого эллипса --- это и есть искомая пара направлений (главные оси эллипса определяют второй сингулярный базис, а первым сингулярным базисом будет его прообраз).
Eldar в сообщении #884017 писал(а):
И вообще какая-то не очевидная связь получается. И да, в SVD я таки разложил эту матрицу.
Здесь речь идёт о полярном разложении. Знаете ли Вы, что такое оператор, сопряжённый данному линейному оператору? Что такое самосопряжённый линейный оператор? Что самосопряжённый линейный оператор приводится к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе? Как это сделать практически? После того, как эти вопросы будут разъяснены, полярное разложение уже будет легко понять.
Munin в сообщении #884018 писал(а):
Теперь вы сможете найти решение?
Даже если и сможет, это не метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение05.07.2014, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nnosipov в сообщении #884071 писал(а):
Потому что Вы читаете какие-то допотопные изложения, да ещё и только для 2- и 3-мерного случаев.

Да нормальное изложение, а 2-3-мерный случай - естественно для курса "аналитической геометрии".

Проблема в другом - в понимании текста. Растяжение и сжатие по двум перпендикулярным направлениям - это не обязательно диагональная матрица. Потому что эти два перпендикулярных направления - не обязательно приведены в положение осей координат.

nnosipov в сообщении #884071 писал(а):
Даже если и сможет, это не метод.

Ну, для выдуманного им метода - это успех. А дальше уже можно развивать успех, рассказывая про более мощные рассуждения и подходы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение05.07.2014, 14:02 


28/12/10
23
Munin в сообщении #884108 писал(а):
Растяжение и сжатие по двум перпендикулярным направлениям - это не обязательно диагональная матрица.

То есть общий вид матрицы сжимающего отображения это эрмитова (самосопряжённая) матрица? То есть всегда эрмитова (самосопряжённая) матрица задаёт сжимающее отображение и обратно? Про сжимающие отображения в произвольно базисе ничего не встречал, только относительно главных осей. Сейчас посмотрю как выглядит матрица сжимающая $\mathbb{R}^2$ относительно прямой $x+y=1$ в 2 раза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение аффинного преобразования плоскости
Сообщение05.07.2014, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Eldar в сообщении #884149 писал(а):
То есть общий вид матрицы сжимающего отображения это эрмитова (самосопряжённая) матрица?

Слово "сжимающее отображение" в математике зарезервировано для кое-чего другого.

Да, в том смысле, который вы подразумевали, - да.

Eldar в сообщении #884149 писал(а):
Сейчас посмотрю как выглядит матрица сжимающая $\mathbb{R}^2$ относительно прямой $x+y=1$ в 2 раза.

Извините, прямая должна проходить через ноль. Иначе отображение просто не будет выражаться матрицей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group