2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 01:00 
Аватара пользователя


30/06/14
19
ShMaxG
Пусть $T_n\sqrt{n}\quad\text{а.н.}\quad N(0, \sigma^2_T)$. Тогда, кажется, $\frac{\sigma_T^2(\theta)}{n}$ и есть та самая асимптотическая дисперсия, если я правильно понял задание. Насколько я знаю, она может быть равна, например, $\frac{\left[g'(p)\right]^2}{n\cdot i(p)}$ для ОМП $g(\check{p})$.

Обратной крышкой я обозначаю ОМП.
В итоге, для данного распределения существует в качестве эффективной оценки только $\bar{X}/r$, и существует она только для заданного выше $\tau(\theta)$, всё это с точностью до линейного преобразования. Это, собственно, и является доказательством, что все остальные оценки в рамках данной модели не являются эффективными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Давайте пока вернемся к вашему первому посту. Мне тут подсказали, что условие задачи неплохо было бы уточнить. У вас была задача проверить на несмещенность и эффективность оценку параметра $p$. Какую оценку? Вы почему-то рассматриваете ОМП. Это так по условию было задано, или это вы сами решили ее проверить почему-то? Далее, уточните пожалуйста понятие эффективности оценки. Что вы под этим понимаете, несмещенность с равномерно минимальной дисперсией (у Ивченко и Медведева это оптимальная оценка в классе несмещенных оценок) или достижение равенства в неравенстве Рао-Крамера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 13:55 
Аватара пользователя


30/06/14
19
ShMaxG
В общем, задание состоит в следующем: проверить, являются ли ОМП, ОММ и ОМК несмещёнными, состоятельными, эффективными? С ОМК всё достаточно плохо, к нему можно это не применять. Я нашёл ОМП и ОММ, они у меня совпали: $\frac{2}{2+\bar{X}}$. Состоятельность я проверил по ЗБЧ, а вот с несмещённостью и эффективностью возникли проблемы, но мы вроде разобрались.
Насчёт эффективности: я так понял, мы в данной теме использовали понятие эффективности как несмещённость с равномерно минимальной дисперсией. Не уверен, что так и надо (на практике я обычно просто находил дисперсии от оценок и сравнивал их порядок роста, другие случаи мне не попадались, поэтому я особо не задумывался).
А вот, где нужно сравнить точность различных оценок с помощью асимптотических дисперсий, там, по-видимому, как раз применяется неравенство Рао-Крамера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Nyanfox в сообщении #883136 писал(а):
В общем, задание состоит в следующем: проверить, являются ли ОМП, ОММ и ОМК несмещёнными, состоятельными, эффективными? С ОМК всё достаточно плохо, к нему можно это не применять. Я нашёл ОМП и ОММ, они у меня совпали: $\frac{2}{2+\bar{X}}$. Состоятельность я проверил по ЗБЧ, а вот с несмещённостью и эффективностью возникли проблемы, но мы вроде разобрались.

ОММ -- оценка по методу моментов, я так понимаю? А как расшифровывается ОМК? Ну хорошо, если проверить следовало именно эти оценки, то ок.

Nyanfox в сообщении #883136 писал(а):
Насчёт эффективности: я так понял, мы в данной теме использовали понятие эффективности как несмещённость с равомерно минимальной дисперсией.

Нет. Я всегда понимал эффективность, как достижение равенства в неравенстве Рао-Крамера. И всюду в этой теме эффективность я понимал именно так. Хотя, как выяснилось, иногда (если не всегда) это называют R-эффективностью, а просто эффективностью -- несмещенность с равномерно минимальной дисперсией. Ваша ОМП смещена, так что в этом смысле она эффективной не является по определению. Мы же выяснили, что она не является и R-эффективной. Кстати говоря, то, что в рамках одной статистической модели может существовать только одна параметрическая функция с одной R-эффективной оценкой -- это отдельный факт, лично для меня не тривиальный, хотя доказательство не очень сложное. Это я к тому, что не очень понял, почему вы пишете
Nyanfox в сообщении #882993 писал(а):
В итоге, для данного распределения существует в качестве эффективной оценки только $\bar{X}/r$, и существует она только для заданного выше $\tau(\theta)$, всё это с точностью до линейного преобразования. Это, собственно, и является доказательством, что все остальные оценки в рамках данной модели не являются эффективными.


Вы там еще спрашивали про достаточность этой оценки. Она конечно достаточная и это легко увидеть из критерия факторизации.

Вот это мне кажется странным и не понятным:
Nyanfox в сообщении #882993 писал(а):
Тогда, кажется, $\frac{\sigma_T^2(\theta)}{n}$ и есть та самая асимптотическая дисперсия, если я правильно понял задание. Насколько я знаю, она может быть равна, например, $\frac{\left[g'(p)\right]^2}{n\cdot i(p)}$ для ОМП $g(\check{p})$.

Вот я понимаю так: если у нас есть две асимптотически нормальные статистики, то можно сравнить эти асимптотические дисперсии. Где меньше, та и лучше. Но я не знаю, что у вас на самом деле понимается под этим "сравнить точность с помощью асимптотических дисперсий".

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 15:01 
Аватара пользователя


30/06/14
19
ShMaxG
Да, ОММ Вы расшифровали правильно, а ОМК - оценка методом квантилей, там никак не получается выразить оцениваемый параметр: $-px^{*}_{0,5}(1-p)^{x^{*}_{0,5}}-(1-p)^{x^{*}_{0,5}}+1=0,5$ .

Я так написал, потому что мы проверяли эффективность по следующему алгоритму: находили дисперсии от оценок и смотрели их порядок роста (если я правильно применяю этот термин) при $n\to\infty$. И смещённая оценка могла оказаться эффективнее несмещённой, если, например, у первой $D[\check{\theta}]\sim \frac{1}{n^2}$, а у второй $D[\tilde{\theta}]\sim \frac{1}{n}$ . Я не совсем понимаю, на что опирается этот алгоритм.

Цитата:
Вот я понимаю так: если у нас есть две асимптотически нормальные статистики, то можно сравнить эти асимптотические дисперсии. Где меньше, та и лучше.
Скорее всего, так и надо сделать. Я опираюсь на это:
Цитата:
Теорема об асимптотической нормальности ОМП. Пусть выполнены условия регулярности Рао–Крамера, $\check{\theta}$– ОМП скалярного параметра $\theta$ , причем она единственна и является внутренней точкой параметрического множества $\Theta$.
Тогда
(*) $\check{\theta}$ – состоятельная оценка для $\theta$ ;
(**) если дополнительно известно, что $\exists\frac{\delta^3}{\delta\theta^3}L(\theta,x)$, и $\exists N(x)$ , для которой выполняются неравенства: $\left|\frac{\delta^3}{\delta\theta^3}L(\theta,x)\right|\leq N(x)$, $\text{M}[N(x)]<\infty$, то
$$\sqrt{n\cdot i(\theta)}\cdot (\check{\theta}-\theta)\quad\text{а.н.}\quad (0,1)$$
(***) если дополнительно известно, что $g(\theta)$ – дифференцируемая функция, причем $g'(\theta)\not= 0$ , то $g(\check{\theta})$ – ОМП для $g(\theta)$, причем $\sqrt{n\cdot i(\theta)}\cdot (g(\check{\theta})-g(\theta))\quad\text{а.н.}\quad (0, [g'(\theta)]^2)$
Примечание. Асимптотическая дисперсия ОМП $g(\check{\theta})$ равна $\frac{[g'(\theta)]^2}{n\cdot i(\theta)}$


-- 02.07.2014, 17:33 --

Хотя, насчёт дисперсий я, кажется, понял: я сравнивал статистические оценки по значению квадратичного риска.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Nyanfox в сообщении #883167 писал(а):
Я так написал, потому что мы проверяли эффективность по следующему алгоритму: находили дисперсии от оценок и смотрели их порядок роста (если я правильно применяю этот термин) при $n\to\infty$. И смещённая оценка могла оказаться эффективнее несмещённой, если, например, у первой $D[\check{\theta}]\sim \frac{1}{n^2}$, а у второй $D[\tilde{\theta}]\sim \frac{1}{n}$ . Я не совсем понимаю, на что опирается этот алгоритм.

Это резонно делать только если вы рассматриваете несмещенные оценки. Действительно, если дисперсия одной оценки меньше (при достаточно большом $n$) другой, то ей и следует отдать предпочтение. Если вам удалось найти оценку с равномерно (по параметру) минимальной дисперсией, тогда эта оценка называется оптимальной (по книге Ивченко и Медведева). Возможно, что у вас (в курсе? лекциях? учебнике?) она называется эффективной.

Короче говоря, ОМП не R-эффективная оценка и не является несмещенной с равномерно минимальной дисперсией (вообще не является несмещенной).

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 16:43 
Аватара пользователя


30/06/14
19
ShMaxG
Спасибо, с этим разобрался.

Насчёт асимптотических дисперсий: может ли быть такое, что асимптотические дисперсии у оценок (ОММ и ОМП) одного вида, скажем, $\frac{2}{2+\bar{X}}$, будут разными в зависимости от того, находим мы асимптотическую дисперсию по формуле для ОММ или для ОМП?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Nyanfox в сообщении #883202 писал(а):
находим мы асимптотическую дисперсию по формуле для ОММ или для ОМП?

Это как? Асимптотическая дисперсия это вообще свойство статистики, причем здесь какой-то метод? Если статистика асимптотически нормальная, то асимптотическая дисперсия вполне конкретная.

Кстати, для асимптотической нормальности одно условие теоремы не выполнено: не для всех $x$ из выборочного пространства ваша ОМП находится внутри множества значений параметра (возможно $S_n=0$ и тогда ОМП равна 1). Так что я пока на 100% не уверен, что эта оценка асимптотически нормальная :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 17:23 
Аватара пользователя


30/06/14
19
ShMaxG в сообщении #883213 писал(а):
Это как? Асимптотическая дисперсия это вообще свойство статистики, причем здесь какой-то метод? Если статистика асимптотически нормальная, то асимптотическая дисперсия вполне конкретная.
Меня вот что смутило (много цитированных текста и формул, поэтому в изображении):Изображение

ShMaxG в сообщении #883213 писал(а):
Кстати, для асимптотической нормальности одно условие теоремы не выполнено: не для всех $x$ из выборочного пространства ваша ОМП находится внутри множества значений параметра (возможно $S_n=0$ и тогда ОМП равна 1). Так что я пока на 100% не уверен, что эта оценка асимптотически нормальная :-)
Вот блин, и как быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Nyanfox в сообщении #883215 писал(а):
Вот блин, и как быть?

Без паники, это же оценка ОММ. Так что тут все нормально, она асимптотически нормальная. Можете, к примеру, вот сюда глянуть: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/node21.html.

-- Ср июл 02, 2014 23:19:35 --

Вообще, вы бы конечно лучше в свои записи/лекции/конспекты смотрели, наверняка там есть ответы на все ваши вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 22:59 
Аватара пользователя


30/06/14
19
ShMaxG в сообщении #883342 писал(а):
Без паники, это же оценка ОММ. Так что тут все нормально, она асимптотически нормальная.
Спасибо. Да, кстати, я уже посмотрел и нашёл этот факт в лекциях. :-) В таком случае буду находить асимптотическую дисперсию для ОММ по формуле из моего сообщения выше.

ShMaxG в сообщении #883342 писал(а):
Вообще, вы бы конечно лучше в свои записи/лекции/конспекты смотрели, наверняка там есть ответы на все ваши вопросы.
В первую очередь там и пытаюсь искать информацию, другое дело, что материала много, он плохо структурирован, плюс некоторая информация там, действительно, отсутствует.

-- 03.07.2014, 01:04 --

(Оффтоп)

Кстати, классный Вы мне учебник посоветовали: я там и асимптотическую эффективность нашёл, формулу который я упомянал в середине дискуссии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля
Сообщение02.07.2014, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Nyanfox в сообщении #883359 писал(а):
Кстати, классный Вы мне учебник посоветовали: я там и асимптотическую эффективность нашёл, формулу который я упомянал в середине дискуссии.

Вы имеете ввиду учебник Ивченко и Медведева? Да, он всем студентам у нас нравится. И, честно говоря, я по нему учился, поэтому привык именно к их терминологии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group