2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Счетность множеств
Сообщение02.07.2014, 06:51 


17/06/14
17
Доказать, что если $X$ счетно, а $Y$ конечно и непусто, то $X \times Y$ счетно.
Доказать, что объединение конечного числа счетных множеств счетно.

Будет ли ниженаписанное (если оно верно) решением для обеих этих задач ?
1) Пусть $f: X \to \mathbb{N}$ и $g: Y \to \{1,2, ..., n\}$ биективны. Тогда $h: X \times Y \to \mathbb{N}$, $(x,y) \mapsto f(x)n + g(y)$ -- биекция.
2) Дано $n$ счетных множеств. Каждому элементу $x$ каждого счетного множества $X$ можно поставить в соответствие элемент $\mathbb{N}$. Каждому $X$ можно поставить в соответствие некоторый элемент $\{1, 2, ..., n\}$, т.е. занумеровать эти множества. Если рассматривать элементы объединения этих множеств как упорядоченные пары $(x, y)$, где $x$ -- это элемент множества $X$, а $y$ -- номер $X$, то биекцией можно считать отображение $h: X \times Y \to \mathbb{N}$ из первой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность множеств
Сообщение02.07.2014, 08:32 
Заслуженный участник


16/02/13
2833
Владивосток
Первое — почти верно, таки у вас $h(1,1)=n+1$, второе не совсем: множества могут пересекаться. Выкрутиться можно, но вспомнить стоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность множеств
Сообщение02.07.2014, 17:41 


17/06/14
17
Цитата:
таки у вас $h(1,1)=n+1$

А в чем здесь проблема ? При определенном $n$ получается взаимно-однозначно,зная $n$, по каждому элементу из $\mathbb{N}$ можно получить как частное и остаток от деления $x$ и $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность множеств
Сообщение03.07.2014, 00:58 
Заслуженный участник


16/02/13
2833
Владивосток
Вообще говоря, требуется взаимно-однозначное соответствие, а в единицу ничего не отображается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность множеств
Сообщение03.07.2014, 02:00 


17/06/14
17
iifat в сообщении #883419 писал(а):
Вообще говоря, требуется взаимно-однозначное соответствие, а в единицу ничего не отображается.

Я брал $\mathbb{N}$ с нулем и получается для $h(0, 1) = 0n + 1 = 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетность множеств
Сообщение03.07.2014, 04:22 
Заслуженный участник


16/02/13
2833
Владивосток
Тогда в нуль ничего не отображается :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group