2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение30.06.2014, 23:54 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #882494 писал(а):
fronnya в сообщении #882467 писал(а):
Что-то мне подсказывает, что здесь надо знать бином Ньютона, который я не знаю.

Что-то мне подсказывает, что здесь - нет. Может быть, то, что я на бумажке это сделал...

может $\begin{pmatrix} 1 & a (b^{n-1}+b^{n-2}+..+b^{n-n})\\ 0 & b^n\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:00 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
Вариант 1. Вообще без индукции и гадалок
Переходим в собственный базис, там всё очень просто, $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&b
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&{{b^n}}
\end{array}} \right)\]$. Далее возвращаемся к исходному и получаем $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&a\\
0&b
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{a\frac{{{b^n} - 1}}{{b - 1}}}\\
0&{{b^n}}
\end{array}} \right)\]$
(собственные вектора у исходной матрицы $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right)\]$ и $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{a}{{b - 1}}}\\
1
\end{array}} \right)\]$).
Вариант 2. Тупо пишем пишем и пишем, благо там догадаться легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Правильно!!! :-) Ну вот видите, не страшно же.

-- 01.07.2014 01:02:35 --

Ms-dos4 в сообщении #882499 писал(а):
Переходим в собственный базис

Этого он явно ещё не умеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:02 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
Да, именно так. Теперь осталось доказать это по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:13 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Для $n+1$ получилось $\begin{pmatrix} 1 & a(b^{n}+b^{n-1}+b^{n-2}+...+1)\\ 0 & b^{n+1}\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:14 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
Ну всё ок, можете для красоты свернуть сумму, (как у меня в посте).

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:15 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4, а мне и так красиво :lol:

-- 30.06.2014, 23:16 --

Ms-dos4, как свернуть?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:16 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
Как как, геометрическая прогрессия, у вас сумма $\[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \]$
----
Ну с тем примером 3x3 тоже теперь всё легко. Что нибудь ещё непонятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:21 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4 в сообщении #882515 писал(а):
fronnya
Как как, геометрическая прогрессия, у вас сумма $\[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \]$

$\begin{pmatrix} 1 & a \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \\ 0 & b^{n-1} \end{pmatrix}$

-- 30.06.2014, 23:22 --

Ms-dos4 пример с лямбдами доделаю завтра, мне пора спать, рано вставать завтра, точнее, у нас, уже сегодня.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:23 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
Так, стоп. Вы невнимательны. Во первых, $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&a\\
0&b
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{a\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} }\\
0&{{b^n}}
\end{array}} \right)\]$.

Во вторых, ну сумму то геометрической прогрессии вы в школе учили? Вот и запишите её в явном виде

----
По поводу примера 3x3, там осталось то всего ничего, только шаг индукции, предполагаемую общую форму нашли $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\lambda &1&0\\
0&\lambda &1\\
0&0&\lambda 
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda ^n}}&{n{\lambda ^{n - 1}}}&{\frac{1}{2}n(n - 1){\lambda ^{n - 2}}}\\
0&{{\lambda ^n}}&{n{\lambda ^{n - 1}}}\\
0&0&{{\lambda ^n}}
\end{array}} \right)\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ms-dos4
Вы всё делаете за fronnya, думаете, что ведёте его за ручку, а на самом деле он в решении вашего примера никак не участвует. Это вы сами "нашли предполагаемую общую форму".

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 02:12 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Munin
Наверное вы правы. Только я вот не понимаю, как иначе объяснять. Тут либо говорить "ищи закономерность в ряду" $\[0,1,3,6,10...\]$, получающемся фактическим подсчётом степеней матрицы (любая подсказка сразу даёт ответ), либо просто показывать более строго рассуждение, отталкиваясь от разностного уравнения, чтобы найти требуемое $\[\frac{1}{2}n(n - 1)\]$. Был бы пример посложнее, было бы что обсуждать.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 02:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
По-моему, тут самое главное - дожидаться ответной реакции, и ориентироваться по ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 07:08 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4 в сообщении #882542 писал(а):
Munin
Тут либо говорить "ищи закономерность в ряду" $\[0,1,3,6,10...\]$.

Вот, нашел такое, это коэффициенты перед $\lambda$ в правом верхнем углу. Но как связать их такой китайской зависимостью ?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 08:15 
Аватара пользователя


14/08/09
1140

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #882512 писал(а):
Ну всё ок, можете для красоты свернуть сумму, (как у меня в посте).

Только, если $b \ne 1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 138 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group