2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задачи по алгебре
Сообщение27.06.2014, 14:38 


12/06/14
28
Здравствуйте.
Я учусь в школе. Прошу указать на мои ошибки, если что-то неправильно.
Недавно я стал читать Э.Б. Винберга "Курс алгебры".
Хотелось бы, чтобы кто-нибудь проверил мои решения.
Задача 1.
Доказать, что всякая подгруппа аддитивной абелевой группы $\mathbb Z$ имеет вид $n\mathbb Z$, где $n\in\mathbb Z_+$.
Доказательство:
У всякой аддитивной абелевой группы есть две "тривиальные" подгруппы: вся группа и подгруппа, состоящая из нуля.
При $n=1$, $n=0$ $n\mathbb Z$ - "тривиальные" подгруппы аддитивной абелевой группы целых чисел.
При $n\ge 2$ $n\mathbb Z$ - также подгруппа аддитивной группы целых чисел. Действительно:
1.$n\mathbb Z$ замкнуто относительно сложения
Пусть $m,k\in n\mathbb Z$, тогда $m=nq_1$ , $k=nq_2$ \,$q_1,q_2\in\mathbb Z$.
$m+k=nq_1+nq_2=n(q_1+q_2), (q_1+q_2)\in\mathbb Z$
(Пользуемся дистрибутивностью умножения относительно сложения, так как $\mathbb Z$ -кольцо)
$(m+k)\in n\mathbb Z$
2.$m\in n\mathbb Z \rightarrow -m\in n\mathbb Z$
Очевидно. $m=nq_1 , q_1\in\mathbb Z ;n(-q_1)=-m , -q_1\in\mathbb Z$
3.$0\in n\mathbb Z$
Очевидно. $0=0n , n\in\mathbb Z_+$
Положим, что существует подгруппа аддитивной абелевой группы целых чисел, которая не представима в виде $n\mathbb Z , n\in\mathbb Z_+$.Тогда $0,a$ - элементы данной подгруппы и, так как операция сложения замкнута, $2a,-2a,...,na,-na , n\in\mathbb N$ -тоже элементы этой группы. Получаем противоречие, так как эта подгруппа представима в виде $n\mathbb Z , n\in\mathbb Z_+$, где $n=a$ или $n=-a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение27.06.2014, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
nou в сообщении #880745 писал(а):
Положим, что существует подгруппа аддитивной абелевой группы целых чисел, которая не представима в виде $n\mathbb Z , n\in\mathbb Z_+$.Тогда
$0,a$ - элементы данной подгруппы и, так как операция сложения замкнута, $2a,-2a,...,na,-na , n\in\mathbb N$ -тоже элементы этой группы. Получаем противоречие, так как эта подгруппа представима в виде $n\mathbb Z , n\in\mathbb Z_+$, где $n=a$ или $n=-a$.
Вы не доказали, что все элементы этой подргуппы будут кратными $a$. Может быть, в подгрупе, кроме $0, a, -a, 2a, -2a, \dots, na, -na, \dots$, есть еще какое-нибудь $b$?

-- Пт июн 27, 2014 15:41:28 --

До этого верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение27.06.2014, 15:16 
Аватара пользователя


14/12/13
119
nou, да, вы взяли подгруппу, сказали, что там есть хотя бы 2 произвольных элемента и показали, что их замыкание (все что можно из них получить гурпповой операцией и взятием обратного) есть группа $n\mathbb{Z}$, то есть сейчас вы доказали, что любая нетривиальная подгруппа $\mathbb{Z}$ содержит некоторую подгруппу $n\mathbb{Z}$, так что это пока что не то.
P.S. вся группа все же не называется своей тривиальной подгруппой, но это так, обозначения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 08:32 


12/06/14
28
Xaositect,предположим, что данной подгруппе принадлежит $b$. Тогда $b$ можно записать в виде суммы, в которой слагаемые - элементы подгруппы.Так как каждое слагаемое кратно $a$, то и сумма, то есть $b$ будет кратно $a$.
Если же данной подгруппе принадлежит $b$, и $b$ нельзя записать в виде суммы элементов подгруппы, то есть $b$ не кратен $a$, то можно показать, что подгруппа имеет вид $n\mathbb Z, n\in\mathbb Z_+$, где $n=НОД(a,b)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
nou в сообщении #881077 писал(а):
Если же данной подгруппе принадлежит $b$, и $b$ нельзя записать в виде суммы элементов подгруппы, то есть $b$ не кратен $a$, то можно показать, что подгруппа имеет вид $n\mathbb Z, n\in\mathbb Z_+$, где $n=НОД(a,b)$.
Уже лучше. А если после этого нашлось еще какое-нибудь $c$, не кратное $\textrm{НОД}(a,b)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 11:27 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Xaositect намекает, что в математике "для взрослых" можно брать НОД по бесконечным множествам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 11:31 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Foxer в сообщении #881105 писал(а):
Xaositect намекает, что в математике "для больших" можно брать НОД по бесконечным множествам.

Только зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 11:42 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Mathusic в сообщении #881108 писал(а):
Только зачем?


Бесспорно, тут это не нужно, но вот некоторые не любят доказательства от противного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Foxer в сообщении #881105 писал(а):
Xaositect намекает, что в математике "для взрослых" можно брать НОД по бесконечным множествам.
Ни в коем случае. Ну то есть брать НОД можно, но потом придется доказывать, что он представляется линейной комбинацией некоторых элементов, а это по сути как раз наша теорема.

Я намекаю на то, что идея у nou правильная, только ее надо будет применить несколько раз. И при этом конечное число раз, потому что ...(почему? вопрос nou)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 11:46 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Xaositect в сообщении #881112 писал(а):
Ну то есть брать НОД можно, но потом придется доказывать, что он представляется линейной комбинацией некоторых элементов, а это по сути как раз наша теорема.

Да, перегнул я палку. Мы ведь и так доказываем очевидные вещи, посему говорить слово "очевидно" запрещено =).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 12:11 


12/06/14
28
Xaositect, потому что если $\textrm{НОД}(a,b,c,...,n)=1$, то данная подгруппа группы $\mathbb Z$ превратиться в тривиальную подгруппу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение28.06.2014, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну, я имел в виду такое рассуждение: раз у нас на каждом шаге НОД уменьшается, то рано или поздно нам придется остановиться. Не обязательно на единице.

А теперь попробуйте посностью написать аккуратное доказательство, которое сможет убедить инопланетянина, знакомого с понятиями группы, подгруппы и кольца $\mathbb{Z}$ и с алгоритмом Евклида для НОД :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение29.06.2014, 09:17 


12/06/14
28
Задача 1.
Доказать, что всякая подгруппа аддитивной абелевой группы $\mathbb Z$ имеет вид $n\mathbb Z$, где $n\in\mathbb Z_+$.
Доказательство:
1.Докажем, что $n\mathbb Z$ - подгруппа группы $\mathbb Z$ при любом $n\in\mathbb Z_+$.
Очевидно, при $n=0, n=1$ $n\mathbb Z$ - "тривиальная" подгруппа группы $\mathbb Z$.
При $n\ge 2$ $n\mathbb Z$ - подгруппа группы $\mathbb Z$, так как: (по определению подгруппы)
1.1.$n\mathbb Z$- замкнуто относительно сложения.
Пусть $m,k\in n\mathbb Z$, тогда $m=nq_1$ , $k=nq_2$ ,$q_1,q_2\in\mathbb Z$.
$m+k=nq_1+nq_2=n(q_1+q_2), (q_1+q_2)\in\mathbb Z$
$(m+k)\in n\mathbb Z$
1.2.$m\in n\mathbb Z \rightarrow -m\in n\mathbb Z$
Очевидно.$m\in n\mathbb Z \rightarrow m=nq_1 , q_1\in\mathbb Z ;n(-q_1)=-m , -q_1\in\mathbb Z\rightarrow -m\in n\mathbb Z$
1.3.$0\in n\mathbb Z$
Очевидно. $0=0n , n\in\mathbb Z_+$
(Здесь и далее пользуемся операцией умножения, дистрибутивностью умножения относительно сложения,...,так как $\mathbb Z$ -кольцо)
Таким образом, $n\mathbb Z$ - подгруппа группы $\mathbb Z$ при любом $n\in\mathbb Z_+$.
2.Докажем, что элементы всякой "нетривиальной" подгруппы $K$ группы $\mathbb Z$ кратны $d\in\mathbb Z_+$.
Пусть $a\in K$, тогда:
2.1.Все элементы группы $K$ кратны $a$.
Всё хорошо.
2.2.В группе $K$ существует элемент $b>a$, который не кратен $a$.
Найдём $\textrm {НОД} (a,b)$ с помощью алгоритма Евклида.
$$b=aq_1+r_1$$
$$a=r_1q_2+r_2$$
$$...$$
$$r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n$$
$$r_{n-1}=r_nq_{n+1}+0$$
$$q_1,q_2,...,q_{n+1}\in\mathbb Z$$
$$0<r_1<|a|$$
$$r_1,r_2,...,r_n\in K$$
$\textrm {НОД} (a,b)=r_n\in K$, так как $a$, $b$ кратны $r_n$, то и любой элемент из их замыкания будет кратен $r_n$.
Если в группе $K$ найдётся элемент не кратный $r_n$, то рассуждения будут аналогичными.
Для любой группы $K$ эти кол-во этих рассуждений будет конечно, так как на каждом шаге мы будем уменьшать НОД.(см. например Алгоритм Евклида).
Таким образом, элементы всякой "нетривиальной" подгруппы $K$ группы $\mathbb Z$ кратны $d\in\mathbb Z_+$.
Конец док-ва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение29.06.2014, 09:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
nou, замечательное доказательство, но очень длинное, поскольку много делений с остатком. Вы можете попробовать придумать более экономное рассуждение, где было бы ровно одно деление с остатком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение29.06.2014, 10:23 


12/06/14
28
nnosipov, можно использовать линейное представление НОД.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group