2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти решение Задачи Коши
Сообщение22.06.2014, 16:17 


11/03/14
46
Задача.Найти решение $E(t,x)$ задачи Коши $L(E)=0,E(0,x)=\delta(x)$, для оператора $L= \frac{d^2}{dt^2}$ $+\frac{d^2}{dx^2}$, удовлетворяющий условию $E(t, \cdot ) \to$ 0 при $t \to \infty$.
Теория.
$L=$$P(\frac{d}{dx_1},\frac{d}{dx_2},...,\frac{d}{d x_n})$- дифференциальный оператор конечного порядка с постоянными комплексными коэффициентами($P$-комплексный многочлен).Фундаментальным решением для этого оператора называется любая обобщенная функция $E \in D'(R^n)$, удовлетворяющая уравнению $L(E)=\delta_0$
Решение:
Если выполнить преобразование Фурье по переменной $x$ , то получим уравнение
$\frac{{{d^2}\widehat E\left({t,\lambda}\right)}}{{d{t^2}}}-$${\lambda ^2}\widehat E\left({t,\lambda}\right) = 0$
Выбираем убывающее по переменной t решение
$\widehat E\left({t,\lambda}\right) = C\left( \lambda \right){e^{- \left| \lambda \right|\;t}}$
Величину C\left( \lambda \right) выбираем, исходя из начального условия,
$C\left( \lambda \right) = 1$ (это преобразование Фурье дельта-функции).
Осталось выполнить обратное преобразование Фурье
1. $E\left({t,x}\right) =1/2\pi\int\limits_\mathbb{R}{{e^{- \left| \lambda \right|\;t}}\cdot{e^{i\,x\;\lambda}}d\lambda}= \frac{1}{{2\pi}}\left({\int\limits_{- \infty}^0{{e^{\left({t + i\,x\;}\right)\lambda}}d\lambda}+ \int\limits_0^\infty{{e^{\left({- t + i\,x\;}\right)\lambda}}d\lambda}}\right) =$
$=1/2\pi(\left.{ \frac{e^{(t+ix)\lambda}}{t+ix} }\right|_{ - \infty }^{ 0 }-\left.{ \frac{e^{-(t-ix)\lambda}}{t-ix} }\right|_{ 0 }^{ \infty })=\frac{t}{(t^2+x^2)\pi}$
2.Увяз на проверке $(( \frac{t}{(t^2+x^2)\pi})',\varphi)$$=-(\frac{t}{(t^2+x^2)\pi},\varphi')$$=-\int\limits_{R}\frac{t}{(t^2+x^2)\pi}\varphi'(x)dx$$=-\left.{\frac{t}{(t^2+x^2)\pi}\varphi(x)}\right|_{ R} + \int\limits_{R}(\frac{t}{(t^2+x^2)\pi})'\varphi(x)dx=$?
Или проверку можно не делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение Задачи Коши
Сообщение22.06.2014, 16:53 


20/03/14
12041
 !  Vanilin
Замечание за создание дубля темы из Карантина. В следующий раз исправляйте тему в Карантине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение Задачи Коши
Сообщение22.06.2014, 22:28 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
На проверке чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение Задачи Коши
Сообщение22.06.2014, 22:52 


11/03/14
46
Vince Diesel в сообщении #878418 писал(а):
На проверке чего?

Да чего то я напутал тут проверка не нужна.

А Вы не проверите пожалуйста решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение Задачи Коши
Сообщение22.06.2014, 23:51 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group