2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 15:12 
Аватара пользователя


20/06/14
236
 i  Lia: Тема переименована в соответствии с содержанием.


Здравствуйте, прошу помощи в решении нескольких показательных уравнений и неравенств. Привожу первое:
$$ \sqrt{1 - \tg x + \sin^2 x} - \sqrt{\sin^2 x - \dfrac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5} -\tg x}. $$
Пытаюсь определить ООУ:
$$\begin{cases}
1 - \tg x + \sin^2 x \geqslant 0\\
\sin^2 x - \dfrac{4}{5} \geqslant 0\\
\dfrac{9}{5} - \tg x \geqslant 0
\end{cases} \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\text{Не могу решить}\\
\left[  \begin{matrix}
x \in [\arcsin\dfrac{2\sqrt5}{5} + 2\pi n; \pi - \arcsin\dfrac{2\sqrt5}{5}+2 \pi n], n \in Z\\
x \in [\arcsin\dfrac{-2\sqrt5}{5} + 2\pi k; \pi - \arcsin\dfrac{-2\sqrt5}{5}+ 2 \pi k], k \in Z
\end{matrix} \right. \\
x \in [\arctg \dfrac{9}{5} + \pi h; \dfrac{\pi}{2} + \pi h), h \in Z
\end{cases}$$

ООУ не определяю. Решаю без неё: переношу второе слагаемое в правую часть, возвожу уравнение в квадрат и получаю следующее
$$ 2 \sqrt{\left(\dfrac{9}{5}-\tg x\right)\left(\sin^ 2 - \dfrac{4}{5}\right)} = 0 \Longleftrightarrow 
\left[ \begin{matrix}
x = \arctg \dfrac{9}{5} + \pi q, q \in Z\\
x = (-1)^s \cdot \arcsin \dfrac{2\sqrt{5}}{5} + \pi s, s \in Z\\
x = (-1)^r \cdot \arcsin \dfrac{-2\sqrt{5}}{5} + \pi r, r \in Z
\end{matrix} \right.
$$

Ответ в задачнике: $ x = - \arctg 2 + \pi n, n \in Z $

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:00 


19/05/10
3831
Россия
Дорешивать надо до конца. Подставляйте найденные значения в уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:15 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm в сообщении #877887 писал(а):
Дорешивать надо до конца. Подставляйте найденные значения в уравнение.

Объясните, пожалуйста, как дебилу. Не понимаю куда что подставить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:27 


19/05/10
3831
Россия
Попробую)
Вот этот замечательный значок равносильности в конце он в тему, но до этого равносильности в решении из-за возведения в квадрат нету. Точнее, при выбранном способе решения могут появиться посторонние корни.
Отсюда вывод все три серии решений, надо подставить в исходное уравнение. Подставляйте первую серию, которая с арктангенсом

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:50 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm в сообщении #877898 писал(а):
Попробую)
Вот этот замечательный значок равносильности в конце он в тему, но до этого равносильности в решении из-за возведения в квадрат нету. Точнее, при выбранном способе решения могут появиться посторонние корни.
Отсюда вывод все три серии решений, надо подставить в исходное уравнение. Подставляйте первую серию, которая с арктангенсом

Подставляю:
$$ \sqrt{1-\dfrac{9}{5}+\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5})} - \sqrt{\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5}) - \dfrac{4}{5}} = \sqrt{\dfrac{9}{5} - \dfrac{9}{5}} \Longleftrightarrow 
 \sqrt{-\dfrac{4}{5}+\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5})} = \sqrt{\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5}) - \dfrac{4}{5}}$$
Делаю вывод, что подкоренные выражения равны, получаю
$$ \sin^2 \left(\arctg \dfrac{9}{5}\right) = \sin^2 \left(\arctg \dfrac{9}{5}\right)$$
противоречий не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:55 


19/05/10
3831
Россия
Логично)
Но все-таки (на всякий случай) на калькуляторе посчитайте первое подынтегральное выражение

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:01 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm в сообщении #877919 писал(а):
Логично)
Но все-таки (на всякий случай) на калькуляторе посчитайте первое подынтегральное выражение

Я 10-ти классник, про подынтегральные выражения не знаю ничего, но я подозреваю, что нужно просто посчитать написанное на калькуляторе, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:05 


19/05/10
3831
Россия
Извиняюсь, замените слово подынтегральное на подкоренное

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:12 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm в сообщении #877927 писал(а):
Извиняюсь, замените слово подынтегральное на подкоренное

Ох, подкоренное выражение отрицательное, что значит серия лишняя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:28 


19/05/10
3831
Россия
Со второй и третьей серией немного сложнее. Там надо подставлять при $s$ и $r=0,1,2,...$ пока не станет понятно, что подходит, а что нет.
Вобще, уравнение $\sin^2x-\frac{4}{5}=0$ желательно решать переходом к тангенсу (как до этого догадаться непрофессиональному решателю, правда, не ясно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:59 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm в сообщении #877937 писал(а):
Со второй и третьей серией немного сложнее. Там надо подставлять при $s$ и $r=0,1,2,...$ пока не станет понятно, что подходит, а что нет.
Вобще, уравнение $\sin^2x-\frac{4}{5}=0$ желательно решать переходом к тангенсу (как до этого догадаться непрофессиональному решателю, правда, не ясно)

Ох, спасибо. Я правильно понимаю, что уравнение $\sin^2 x - 4/5 = 0$ необходимо преобразовать в $\tg^2 x= 4/3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 18:01 


19/05/10
3831
Россия
в такое не удастся!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 18:33 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm в сообщении #877947 писал(а):
в такое не удастся!

Спасибо за помощь! Если Вас не затруднит, то расскажите в какое преобразовать можно, всё-таки хотелось бы получить ответ как в задачнике самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 18:38 


19/05/10
3831
Россия
Выкладки покажите как получилось $\tg^2 x= 4/3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 18:56 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm в сообщении #877965 писал(а):
Выкладки покажите как получилось $\tg^2 x= 4/3$

$$ \sin^2x=\dfrac{4}{5} \Longleftrightarrow \cos^2 x = \sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5} \Longleftrightarrow \tg^2x = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{4}{3} $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group