2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14094
Новомосковск
Qazed в сообщении #877980 писал(а):
$$ \sin^2x=\dfrac{4}{5} \Longleftrightarrow \cos^2 x = \sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5} $$
:shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 20:35 


19/05/10
3787
Россия
Qazed в сообщении #877980 писал(а):
$ \sin^2x=\dfrac{4}{5} \Longleftrightarrow \cos^2 x = ... $
Задам учебную задачу: пусть $\sin^2x=\dfrac{1}{4}$. Чему тут равен квадрат тангенса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 21:04 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm в сообщении #878016 писал(а):
Qazed в сообщении #877980 писал(а):
$ \sin^2x=\dfrac{4}{5} \Longleftrightarrow \cos^2 x = ... $
Задам учебную задачу: пусть $\sin^2x=\dfrac{1}{4}$. Чему тут равен квадрат тангенса?

Прошу прощения за свою невнимательность! Я по ошибке извлёк корень. Конечно же если $\sin^2 x = 4/5$, то $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1/5$, а $ \tg^2 x = 4 $ и соответственно $ \sin^2 x = 1/4 \Longleftrightarrow \cos^2 x = 3/4 \Longleftrightarrow \tg^2 x = 1/3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 21:07 


19/05/10
3787
Россия
Ну так дорешивайте уже вашу задачу

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 21:21 
Аватара пользователя


20/06/14
236
$$ \tg^2 x = 4 \Longleftrightarrow
\left[ \begin{matrix}
\tg x = 2\\
\tg x = -2
\end{matrix} \right. \Longleftrightarrow
\left[ \begin{matrix}
x = \arctg2 + \pi c, c \in Z\\
x = - \arctg 2 + \pi f, f \in Z
\end{matrix} \right.
 $$
Подставляю серии в исходное уравнение и убеждаюсь, что первая не является его решением в действительных числах.
Ответ: $ \boxed{ x = -\arctg 2 + \pi f, f \in Z} $

Спасибо за помощь!

-- 21.06.2014, 22:39 --

Привожу второе уравнение:
$$ \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{\sin x} + \left(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\right)^{\cos x} = \dfrac{10}{3} $$
Замечаю, что $ \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\right) = 1 \Longleftrightarrow  \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{-1} = \left(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\right)$ и наооборот. Пусть $ \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right) = a $, тогда получаю уравнение
$$ a^{\sin x} + a^{- \cos x} = \dfrac{10}{3} $$
Подскажите, что делать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 22:02 


19/05/10
3787
Россия
там нет случайно каких-нибудь квадратов у синуса и косинуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 23:16 


19/05/10
3787
Россия
Придумал, Qazed, у вас же ответы есть, давайте подставим корни в уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение22.06.2014, 08:00 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Никаких квадратов нет, всё оказывается гораздо проще.
Ответ в задачнике: Нет решений

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение22.06.2014, 08:21 
Заслуженный участник


09/05/13
6251
Qazed в сообщении #878154 писал(а):
Ответ в задачнике: Нет решений

А они есть. Так что опечатка в задачнике. Возможно, предполагалось
$\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{\sin x} + \left(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\right)^{\sin x} = \dfrac{10}{3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение22.06.2014, 09:59 


19/05/10
3787
Россия
Qazed в сообщении #878154 писал(а):
Никаких квадратов нет, всё оказывается гораздо проще.
Ответ в задачнике: Нет решений

Засада) Но там действительно есть корни (Otta). То что они там есть, можно увидеть, если нарисовать график. Только эти корни скорее всего нельзя выразить через известные значки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение22.06.2014, 10:21 
Заслуженный участник


11/05/08
30608
Qazed в сообщении #877873 писал(а):
переношу второе слагаемое в правую часть, возвожу уравнение в квадрат и получаю следующее
$$ 2 \sqrt{\left(\dfrac{9}{5}-\tg x\right)\left(\sin^ 2 - \dfrac{4}{5}\right)} = 0 $$

Это хорошо, но теперь полезно обратить внимание, что левое подкоренное выражение есть сумма правых подкоренных выражений. Поэтому ОДЗ сводится в точности к тому, что каждая из последних двух скобок неотрицательна. И при этом хотя бы одна из них должна обращаться в ноль. Теперь надо просто найти значение тангенса, обнуляющее первую скобку, и проверить знак второй скобки при этом тангенсе (учитывая, что квадрат синуса явно выражается через квадрат тангенса). А потом наоборот. И только после этого брать арктангенс

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение22.06.2014, 10:24 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Корни действительно есть:
Изображение
Граффик:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение22.06.2014, 10:42 
Заслуженный участник


11/05/08
30608
То, что корни есть, легко увидеть безо всяких альфов и даже без графиков. Очевидно, что $ \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{\sin x} + \left(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\right)^{\cos x} < \dfrac{10}{3} $, если взять $\sin x=0,\ \cos x=1$. Теперь хорошо бы подобрать такую пару синуса и косинуса, чтобы получилось неравенство в противоположную сторону. Ну так первая же тупая попытка $\sin x=1,\ \cos x=0$ это и даёт:

$\sqrt{3+2\sqrt2}+1>\frac{10}3\ \Leftrightarrow\ 3+2\sqrt2>\frac{49}9\ \Leftrightarrow\ \sqrt2>\frac{22}{18}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение22.06.2014, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14094
Новомосковск
Микрозамечание: $\sqrt{3\pm 2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\pm 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение22.06.2014, 14:33 
Аватара пользователя


20/06/14
236
ewert в сообщении #878165 писал(а):
Qazed в сообщении #877873 писал(а):
переношу второе слагаемое в правую часть, возвожу уравнение в квадрат и получаю следующее
$$ 2 \sqrt{\left(\dfrac{9}{5}-\tg x\right)\left(\sin^ 2 - \dfrac{4}{5}\right)} = 0 $$

Это хорошо, но теперь полезно обратить внимание, что левое подкоренное выражение есть сумма правых подкоренных выражений. Поэтому ОДЗ сводится в точности к тому, что каждая из последних двух скобок неотрицательна.

Объясните подробнее, пожалуйста

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group