2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение19.06.2014, 20:43 


10/02/11
6786
Данная конструкция обобщает теоремы вроде Гельмгольца-Томпсона, всякие сохранения вихрей, уравнение неразрывности и т.п.
Рассуждения локальные, вместо произвольного гладкого многообразия будем рассматривать пространство $\mathbb{R}^m$ с криволинейными координатами $x=(x^i)$.

Через $v=(v^i),\quad v^i=v^i(x)$ обозначим векторное поле с фазовым потоком $g^t$. Все встречающиеся функции являются гладкими в $\mathbb{R}^m$.

Пусть $\omega$ -- $k$-форма и $S\subset\mathbb{R}^m$ -- гладкое $k$-метрное подмногообразие, $k\le m$.

Теорема 1. $$\frac {d}{dt}\Big|_{t=0}\int_{g^t(S)}\omega=\int_SL_v\omega.$$ В правой части под интегралом стоит производная Ли.

Доказательство проведем для случая когда многообразие $S$ покрывается одной картой. Через $u:D\to\mathbb{R}^m$ обозначим вложение $S$ в $\mathbb{R}^m$, $ D\subset\mathbb{R}^k$ -- область; $u(D)=S$.
Тогда $\int_{g^t(S)}\omega=\int_D(g^t\circ u)_*\omega=\int_D (u_*\circ g^t_*)\omega$ и
$$\frac {d}{dt}\Big|_{t=0}\int_D (u_*\circ g^t_*)\omega=\int_D u_*\frac {d}{dt}\Big|_{t=0}g_*^t\omega=\int_Du_*( L_v\omega).$$
ЧТД

Определение.
1) Дифференциальная $k-$ форма $\omega$ называется абсолютным интегральным инвариантом системы $\dot x=v(x)$ , если $L_v\omega=0$.

2) Дифференциальная $k-$форма называется относительным интегральным инвариантом данной системы, если существует такая $k-1$ форма $\Omega$, что $L_v\omega=d\Omega$.


Заметим, что если $\omega$ -- относительный интегральный инвариант то $d\omega$ -- абсолютный интгральный инвариант.

Теорема 2.

1) Форма $\omega$ является абсолютным интегральным инвариантом тогда и только тогда, когда
для любого $k-$мерного многообразия $S$ интеграл
$$\int_{g^t(S)}\omega$$ не зависит от времени.

2) Форма $\omega$ является относительным интегральным инвариантом тогда и только тогда, когда
для любого $k-$мерного замкнутого компактного многообразия $M,\quad \partial M=\emptyset$ (цикла) интеграл
$$\int_{g^t(M)}\omega$$ не зависит от времени.


Доказательство 1) -- очевидно; доказательство 2) использует формулу Стокса и теорему де Рама.

Пример. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом $H(p,q,t),\quad p,q\in\mathbb{R}^n$. В данносй системе $x=(p,q,t),\quad v=(-H_q,H_p,1).$
теорема 2 превращается в хорошо известную теорему об относительном интегральном инварианте Пуанкаре-Картана: $\omega=pdq-Hdt,\quad L_v\omega=d(pH_p-H)$.

-- Чт июн 19, 2014 21:11:35 --

Литература по теме:
1) Э. Картан Интегральные инварианты
2) В. В. Козлов Общая теория вихрей

 Профиль  
                  
 
 Re: интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение20.06.2014, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #877361 писал(а):
Литература по теме:
1) Э. Картан Интегральные инварианты
2) В. В. Козлов Общая теория вихрей

Это книги или статьи?

Вообще, красиво. Можете привести пример не из механики, а из электродинамики? (Это классическая модельная теория поля.)

 Профиль  
                  
 
 Re: интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение20.06.2014, 10:16 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #877420 писал(а):
а из электродинамики

в этом я ничего не понимаю, приложения к электродинамике и к механике жидкости обсуждаются у Седова в первом томе в очень архаичных терминах и с весьма неформальными доказательствами. Но выудить это оттуда и переписать в терминах дифференциальных форм можно.
Munin в сообщении #877420 писал(а):
Это книги или статьи?

книги

 Профиль  
                  
 
 Re: интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение20.06.2014, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #877480 писал(а):
приложения к электродинамике и к механике жидкости обсуждаются у Седова в первом томе

Можете ткнуть пальцем в конкретное место? Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение20.06.2014, 12:41 


10/02/11
6786
гл 6 основные понятия и уравнения электродинамики параграф 7 Законы вмороженности магнитных и вихревых линий

 Профиль  
                  
 
 Re: интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение21.06.2014, 21:30 


10/02/11
6786
Неавтономная версия.

Предположим, что векторное поле $v$ и коэффициенты $k$-формы $\omega$ зависят явно от времени $t$. При этом координатное представлние $\omega$ не содержит $dt$. Только такие формы мы и будем рассматривать.
Векторное поле $v=v(t,x)$ нам будет удобно продолжить в пространство-время $\mathbb{R}_t\times \mathbb{R}^m=\{(t,x)\}$ следующим образом $\tilde v=(1,v^1,\ldots ,v^m)$
Это соответствует переходу от системы $\dot x=v$ к системе $\frac{dz}{d\tau}=\tilde v(z),\quad z=(t,x),\quad\frac{dt}{d\tau}=1.$ Система в переменных $z$ автономна. Через $\tilde g^\tau$ будем обозначать фазовый поток этой системы действующий в $\mathbb{R}^{m+1}$.
Отметим, что на гиперплоскости этот фазовый поток действует следующим образом: $\tilde g^{\tau}(\{t=const\})=\{t+\tau=const\}$

Легко видеть, что на дифференциальные формы производная Ли действует по формуле:
$$L_{\tilde v}=\frac{\partial }{\partial t}+L_v,$$
где $\frac{\partial }{\partial t}$ -- частное дифференцирование по времени коэффициентов формы; оператор $L_v$ берется по переменным $x$. Оператор $L_{\tilde v}$ действует в пространстве-времени.

Через $d_x$ будем обозначать оператор дифференцирования по переменным $x$.

Определение (неавтономный случай).
1) Дифференциальная $k-$ форма $\omega$ называется абсолютным интегральным инвариантом системы $\dot x=v(t,x)$ , если $L_{\tilde v}\omega=0$.

2) Дифференциальная $k-$форма называется относительным интегральным инвариантом данной системы, если существует такая $k-1$ форма $\Omega$, что $L_{\tilde v}\omega=d_x\Omega$.
И форма $\Omega$ не содежит $dt$.


Заметим, что если $\omega$ -- относительный интегральный инвариант то $d_x\omega$ -- абсолютный интгральный инвариант.

Теорема 3.

1) Если форма $\omega$ является абсолютным интегральным инвариантом то
для любого $k-$мерного многообразия $S$, интеграл
$$\int_{\tilde g^\tau(S)}\omega$$ не зависит от $\tau$. Верно и обратное.

2) Если форма $\omega$ является относительным интегральным инвариантом то
для любого $k-$мерного замкнутого компактного многообразия $M,\quad \partial M=\emptyset$, лежащего в гиперплоскости $\{t=const\}$, интеграл
$$\int_{\tilde g^\tau(M)}\omega$$ не зависит от $\tau$. Верно и обратное.

 Профиль  
                  
 
 Re: интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение26.06.2014, 09:37 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Насчет литературы. Для тех, кто заинтересовался изложенным.
Есть книга Э.Картан "Интегральные инварианты" 1940 года издания.
Есть книга, состоящая из двух частей:1- Э.Картан "Интегральные инварианты" (копия 1940 года), 2- В.В.Козлов "Интегральные инварианты после Пуанкаре и Картана" - у меня 2005 года издания. Обе части в одной книге.
Удобней работать с ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение26.06.2014, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Книга из двух частей - в электронном виде бывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: интегральные инварианты абсолютные и относительные
Сообщение26.06.2014, 13:32 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
У меня бумажная, а в электронном не встречал.
Вторая часть здесь
http://ics.org.ru/doc?pdf=2282&dir=r

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group