2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 График отображения
Сообщение17.06.2014, 13:54 


17/06/14
17
Определение 1: Правило $f$, сопоставляющее каждому элементу $x \in X$ некоторый $y \in Y$, называется отображением из $X$ в $Y$.

Определение 2: Графиком отображения $f: X \to Y$ называется множество $\Gamma (f) \subset X \times Y$, состоящее из всех пар вида $(x, f(x))$.

Задача: Доказать, что подмножество $\Gamma \subset X \times Y$ является графиком отображения тогда и только тогда, когда для любого $x \in X$ найдется ровно один элемент $y \in Y$ такой, что $(x, y) \in \Gamma$.

Предполагаемое решение: Пусть $\Gamma$ -- график отображения, тогда, по определению графика, оно (подмн-во $X \times Y$) состоит из всех возможных пар вида $(x, f(x))$, т.е. для каждого $x$ существует некоторый $f(x)$, но по определению отображения $f(x)$ однозначно определяется по $x$, т.е. единственен. Обратно, пусть теперь $\forall x \in X$ $\exists ! y \in Y$ $|$ $(x, y) \in \Gamma$. Т.к. $y$ ровно один для каждого $x$, то $y=f(x)$, а значит $\Gamma$ -- график $f$.

Верно ли доказательство и есть ли где-то ошибки/недочеты ? Мне показалось, что тут вся задача именно в том, что нужно понять единственность $f(x)$, чего строго не оговорено в определении.

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 15:06 
Заслуженный участник


14/03/10
867
:twisted: А Вы сразу называйте отображением из $X$ в $Y$ любое такое множество $\Gamma \subset X \times Y$, в котором для любого $x \in X$ найдется ровно один элемент $y \in Y$ такой, что $(x, y) \in \Gamma$. Тогда ничего доказывать не придется и можно будет продолжать читать учебник. Причем, я думаю, желательно взять какой-нибудь другой учебник :twisted:

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 15:43 


17/06/14
17
Спасибо, но учебник мне нравится :)
А можете как-нибудь доказательство оценить ?

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1347
____
Как по мне дело вот какое. Как для абсолютно строгого доказательства, которые приняты, например, в некоторых учебниках логики недочётов тут много (например слова:«$f(x)$ однозначно восстанавливается по $x$» требуют расшифровки). Как для простого доказательства, цель которого — убедить себя этим доказательством настолько, чтобы убеждать им же других, то достаточно слов: «это очевидно». Так что и непонятно где и недочёты искать. Ник у вас классный, кстати!

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 16:06 


17/06/14
17
kp9r4d в сообщении #876423 писал(а):
____
Как по мне дело вот какое. Как для абсолютно строгого доказательства, которые приняты, например, в некоторых учебниках логики недочётов тут много (например слова:«$f(x)$ однозначно восстанавливается по $x$» требуют расшифровки). Как для простого доказательства, цель которого — убедить себя этим доказательством настолько, чтобы убеждать им же других, то достаточно слов: «это очевидно». Так что и непонятно где и недочёты искать. Ник у вас классный, кстати!

Имел в виду, что для каждого $x$ существует и притом единственный $f(x)$ по определению отображения. Исходя из этого, учитывая то, что $\Gamma$ -- график, то тогда справедливо "для каждого $x \in X$ существует ..."

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1347
____ в сообщении #876427 писал(а):
Имел в виду, что для каждого $x$ существует и притом единственный $f(x)$ по определению отображения.

Да я не о том и не про то. Ну, в общем, ладно. Доказательство хорошее, можете смело читать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 16:11 


17/06/14
17
Цитата:
Да я не о том и не про то

А про что ?

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 16:56 
Заслуженный участник


23/07/08
7188
Харьков
Вы, наверное, согласитесь, что самый непонятный момент в определении 1) — это «правило». Что считать правилом, а что не считать? Великие предшественники пришли вот к чему: давайте считать правилом просто множество $\Gamma$ пар $(x, y)$, где $x\in X$, $y\in Y$, такое, что для любого $x$ существует единственное $y$, такое, что $(x,y)\in \Gamma$. И Вы, наверное, согласитесь, что да, это уточнение определения. Но после такого уточнения и доказывать нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 17:47 


17/06/14
17
Да, кстати, у меня такой вопрос тоже появлялся: допустим, если каждому $x$ сопоставлять $x$ и $-x$, т.е. это два элемента, а не один. Будет ли это являться отображением (правилом) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63862
Можно каждому $x\in X$ сопоставлять элемент не $Y,$ а $\mathcal{P}(Y),$ где $\mathcal{P}(Y)$ - множество всех подмножеств $Y$ (power set, булеан, $2^Y$). Тогда вы можете каждому $x\in X$ сопоставлять сколько угодно $y\in Y$ - и это всё равно будет функцией (отображением). Вот только область значений у этой функции будет другая.

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 18:00 


17/06/14
17
Munin в сообщении #876458 писал(а):
Можно каждому $x\in X$ сопоставлять элемент не $Y,$ а $\mathcal{P}(Y),$ где $\mathcal{P}(Y)$ - множество всех подмножеств $Y$ (power set, булеан, $2^Y$). Тогда вы можете каждому $x\in X$ сопоставлять сколько угодно $y\in Y$ - и это всё равно будет функцией (отображением). Вот только область значений у этой функции будет другая.

Примерно так же решил, что будет сопоставляться множество как единый объект, т.е. в этом случае не может быть поставлено в соответствие какое-то другое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20734
Уфа
____ в сообщении #876460 писал(а):
будет сопоставляться множество как единый объект, т.е. в этом случае не может быть поставлено в соответствие какое-то другое множество
(Непонятно как-то получилось — что вы хотели сказать?)

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 22:46 


17/06/14
17
Хотел сказать, что это не будет противоречить определению. Т.е. если $x$ сопоставить $x$ и $-x$, то $f(x)$ будет множеством из двух элементов, которое одно и другого не может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: График отображения
Сообщение17.06.2014, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63862
Можно при желании сопоставлять и не просто множество значений, а упорядоченное множество значений. И вообще, извращаться как угодно. Толку в этом немного, и применения находит редко.

Ну вот, например, можно считать, что произвольная кривая на плоскости $(x,y)$ - это как раз "многозначная функция" в указанном смысле $X\to\mathcal{P}(Y).$ Но при этом, заметьте, и множество отдельных точек - тоже такая функция. И закрашенная область - тоже. В общем, мало что ценного. Удобней сказать, что произвольная кривая - это множество точек, в которых некая другая функция $F(x,y)=0,\quad F\colon X\times Y\to\mathbb{R}.$ (Правда, при этом тоже может получиться и множество отдельных точек, и закрашенная область, но чаще будет линия.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group