Кривые

[olesmir]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей:

Найдите кривую, касающуюся всех прямых вида $y=px - e^{p}$.

Правильно ли я понимаю, что такая кривая - это огибающая семейства этих прямых? Если да, то правда, что задача нахождение этой кривой состоит просто-напросто в том, чтобы взять частную производную по параметру и приравнять ее к $0$? Спасибо за ответ!

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

olesmir
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Алексей К.]

olesmir в сообщении #876001 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что такая кривая - это огибающая семейства этих прямых?

Да.

olesmir в сообщении #876001 писал(а):

Если да, то правда, что задача нахождение этой кривой состоит просто-напросто в том, чтобы взять частную производную по параметру и приравнять ее к $0$?

Нет.
Или Вы поленились точнее выразиться. А мне пока лень вспоминать, что там в справочнике про огибающие написано (но сейчас, конечно, поднимусь на чердак, освежу память).

Взяли мы частную производную по параметру. Получили уравнение:
$0=x-e^p$.
Приравняли уравнение к 0 (фу, какую гадость я написал; а, кстати, --- ведь в левой части могло вполне оказаться, например, 5):
$0=x-e^p=0$.
Ну, извините, если не нравится --- но всё по Вашим словам.
И даже если одно из равенств отбросить, нужная кривая не получается.

[olesmir]

Большое спасибо за ответ! Я понял, что был не прав. Не могли бы Вы тогда подсказать, как решать эту задачу?

[Алексей К.]

Вчера, насколько я помню, в справочнике было написано, что надо привести уравнение семейства к виду $F(x,y;p)=0$.
Затем надо исключить $p$ из системы уравнений

$$F(x,y;p)=0,\qquad F'_p(x,y;p)=0$$

(та самая частная производная). После этого, естественно, должно получиться нечто вроде $G(x,y)=0$, что и будет неявным уравнением искомой кривой.

А что, а Вас нет Справочника???

[ewert]

Пусть $p(x)$ -- зависимость параметра семейства от точки касания. Тогда

$$\begin{cases}y(x)=x\,p(x)-e^{p(x)}, \\ y'(x)=p(x),\end{cases}$$

откуда $y(x)=x\,y'(x)-e^{y'(x)}.$ Это -- дифференциальное уравнение Клеро; и, собственно, исходное семейство прямых -- это его общий интеграл. А Вам требуется особое решение этого уравнения (оно и будет огибающей). Ну так по шаблону продифференцируйте это уравнение по $x$ и сократите на $y''(x).$

[olesmir]

Получилось, что $y=x\ln x-x+c$. Это и есть то, что нам нужно?

[ИСН]

Тут нюанс. Огибающая - это одна кривая или семейство кривых, Вы как считаете?