2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 17:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Мера образа может быть пропорциональна $a$ и $b$ — так и происходит при линейном отображении. Но общее утверждение ведь претендует на правильность во всех ситуациях, для которых оно сформулировано. А для нелинейных отображений это утверждение уже неверно, можно взять практически любой пример, хоть переход от декартовых координат к полярным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 18:04 


26/12/13
228
честно говоря не понимаю Вас. $\lim\limits_{a\to 0,b\to 0}\frac{\mu\lambda(u_0,v_0,a,b)}{\mu(u_0,v_0,a,b)}=J(u_0,v_0,a,b)$
вот так выглядело утверждение, которое потом преподаватель сформулировал в лемму, из него же следует, что мера образа прямоугольника пропорциональна мере прямоугольника(в пределе)

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 18:14 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Якобиан не зависит от $a$ и $b$, в правой части нужно убрать $a$ и $b$:
$\lim\limits_{a\to 0,b\to 0}\frac{\mu\lambda(u_0,v_0,a,b)}{\mu(u_0,v_0,a,b)}=J(u_0,v_0)$
Тогда то, что Вы сейчас написали, понятно и правильно.
Но ведь здесь у Вас предел. А Вы говорили о формуле без всяких пределов:
$\mu\delta(u,v,ah,bh)=|J(u,v)|abh^2(1+\lambda(u,v,h))$
Без перехода к пределу это неверно, потому что в общем случае $\lambda$ будет зависеть от $a$ и $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 18:19 


26/12/13
228
да, без $a$ и $b$, да, но у меня в следующем утверждение говорится о равномерной сходимости к нулю $\lambda(u,v,h)$ при $h\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 18:55 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Так давайте, чтобы это было правильно, говорить о стремлении к нулю $\lambda(u, v, a, b, h)$.

Пример. Точка с декартовыми координатами $(u, v)$ отображается в точку с полярными координатами $\rho=u, \varphi=v$. Тогда образом синего прямоугольника $[u,u+a]\times[v,v+b]$ будет оранжевая фигура, у точек которой $\rho\in[u,u+a]$, и $\varphi\in[v,v+b]$:
Изображение
Площадь синего прямоугольника равна $ab$, а площадь оранжевой фигуры
$\frac 1 2\Delta\varphi((\rho+\Delta\rho)^2-\rho^2)=\frac b2((u+a)^2-u^2)=b(ua+\frac {a^2}2)$
Якобиан $J(u,v)=u=\rho$, поэтому площадь оранжевой фигуры равна
$J(u,v)ab(1+\frac{a}{2u})$,
то есть $\lambda=\frac {a}{2u}$ зависит и от $a$ тоже (в общем случае от $u,v,a,b$).

Ваш преподаватель устремляет к нулю не сами $a$ и $b$. Вместо этого он записывает стороны прямоугольника в виде $ah$ и $bh$, и устремляет к нулю $h$. В этом случае площадь оранжевой фигуры равна
$J(u,v)abh^2(1+\frac {ah}{2u})$
И при таком подходе в общем случае $\lambda$ есть функция $u,v,a,b,h$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 19:45 


26/12/13
228
svv Спаси огромное, теперь я понял условие задания, мне интересно Вы высчитали площадь оранжевой фигуры с помощью интеграла?

Попробую теперь пару дней поразмыслить,как доказать это утверждение на произвольное отображение, но Ваш пример очень помог понять идею данного выражения.
Хотя до сих пор остается неясен момент с равномерной сходимостью, что здесь рассматривать, как функциональную последовательность $\lambda(u,v,a,b,h)$ но нет нумерации элементов последовательности

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 19:57 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Нет, конечно! Она получается из двух соображений, если их объединить.
1) Площадь круга $\pi r^2$, тогда площадь кольца с меньшим радиусом $r$ и шириной $\Delta r$ будет $\pi((r+\Delta r)^2-r^2)$.
2) Площадь круга $\pi r^2=\frac 1 2 (2\pi) r^2$, тогда площадь сектора с углом $\Delta \varphi$ получится, если заменить полный оборот $2\pi$ на угол $\Delta \varphi$ (или, что то же, $\pi$ на $\frac 1 2 \Delta \varphi$). Получаем $\frac 1 2 \Delta \varphi r^2$.
Эти две идеи можно применить независимо. Заменяя $r^2$ на $(r+\Delta r)^2-r^2$ и $\pi$ на $\frac 1 2 \Delta \varphi$, получаем ту формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 20:04 


26/12/13
228
красиво и просто однако

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 20:08 


10/02/11
6786
хорошее доказательство теоремы о замене переменных в интеграле содержится в учебнике Брюса Драйвера, учебник здесь:
http://files.mail.ru/90B52CA0286144A8A33C5CE11A833DB4

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 20:13 


26/12/13
228
Oleg Zubelevich Спасибо за литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение17.06.2014, 22:24 


26/12/13
228
жаль, что я по английский совсем не понимаю :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобиан
Сообщение24.06.2014, 18:33 


26/12/13
228
Эм, спустя пару дней я пришел к выводу, что не могу сие чудо, может кто-нить подсказать, как это доказывать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group