2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 09:29 


09/03/14
57
Читаю Lang "Real analysis". Там интеграл (как я понял, типа Римана) определяется так: сначала определяем его на пространстве ступенчатых функций (c sup-нормой) как сумму, а потом, используя линейность, расширяем интеграл на замыкание. Интегрируемые таким образом функции Ленг называет regulated. Собственно, мне интересно, что представляют собой эти функции. Точнее:

Если $E$ -- банахово пространство, то ступенчатой функцией называется функция $f:[a,b]\to E$ такая, что существует разбиение отрезка
$$a=a_0\le a_1\le \ldots\le  a_n=b$$
и элементы $v_1,\ldots, v_n\in E$, при этом $f(t)=v_i$, если $t\in(a_{i-1},a_i)$.

Вопрос такой: что представляет собой замыкание пространства ступенчатых функций по sup-норме?

Вот, например, пусть $E=\mathbb R$. Я знаю критерий Лебега о том, что функция $f:[a,b]\to\mathbb R$ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда $f$ ограничена и непрерывна почти всюду (по мере Лебега). Значит ли это что замыкание ступенчатых функций при $E=\mathbb R$ будет в точности пространство ограниченных функций $[a,b]\to \mathbb R$, непрерывных п.в.?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Получите пространство ограниченных измеримых функций, насколько я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 11:50 


09/03/14
57
Измеримых в смысле лебеговой меры на $[a,b]$ и борелевой на $E$? Пусть $E=\mathbb R$, возьмём индикатор $\mathbb Q$, это измеримая функция, но как равномерный предел ступенчатых её не представишь, насколько я понимаю.

UPD. $E=\mathbb R$. Возьмём функцию $f:[a,b]\to\mathbb R$, равную $1$ в одной точке и $0$ в остальных. Она интегрируема по Риману (критерий Лебега), но её, как я понимаю, как равномерный предел ступенек нельзя представить. То есть не все интегрируемые по Риману функции будут в замыкании. Значит у Ленга там не Риманов интеграл?!...

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
SpBTimes в сообщении #874869 писал(а):
Получите пространство ограниченных измеримых функций, насколько я понимаю.


По равномерной норме – нет; как минимум потому, что равномерный предел интегрируемых по Риману функций интегрируем по Риману.

Получатся ли так все интегрируемые функции – пока не знаю.

-- Пт, 13 июн 2014 02:07:19 --

Не получатся. У равномерного предела ступенчатых функций множество точек разрыва не более чем счётно. По-видимому, это необходимое и достаточное условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
corvus42 в сообщении #874872 писал(а):
Она интегрируема по Риману (критерий Лебега), но её, как я понимаю, как равномерный предел ступенек нельзя представить.

Почему нельзя?
$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$. Ну и понятно, что функция $f(x) = 1$ при $x = 0$, иначе $0$

-- Пт июн 13, 2014 12:37:38 --

g______d
А я прочитал не про ступенчатые функции, а про простые. Тьфу. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 12:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
SpBTimes в сообщении #874883 писал(а):
$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$.

Она не фундаментальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 12:40 


09/03/14
57
SpBTimes в сообщении #874883 писал(а):
Почему нельзя?
$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$. Ну и понятно, что функция $f(x) = 1$ при $x = 0$, иначе $0$

Не совсем понимаю. При $n>2$ у нас же расстояние по sup-норме между $f$ и $f_n$ будет $1-\frac 1n\not\to 0$. :?: Поясните, если не сложно, я функан только начал учить несколько дней назад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 13:21 


10/02/11
6786
corvus42 в сообщении #874837 писал(а):
Вопрос такой: что представляет собой замыкание пространства ступенчатых функций по sup-норме?

подпространство в пространстве функций интегрируемых по Риману, оно даже как-то называется Л Шварц Анеализ том1

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 13:53 


09/03/14
57
Oleg Zubelevich в сообщении #874899 писал(а):
подпространство в пространстве функций интегрируемых по Риману

А можно ли определить интеграл в том же стиле, что и в первом сообщении, но чтобы все интегрируемые по Риману функции попали в замыкание? Может вместо ступенчатых взять другие функции или норму другую взять?

Oleg Zubelevich в сообщении #874899 писал(а):
оно даже как-то называется Л Шварц Анеализ том1

Ну оно и у Ленга как-то называется (space of regulated maps), но хочется чего-то более содержательного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 19:56 


10/02/11
6786
у Шварца это пространство характеризуется в терминах точек разрыва функций

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 20:20 


09/03/14
57
Кажется нашел: функция $[a,b]\to F$ (где $F$ -- полное метрическое пространство) является равномерным пределом ступенчатых $\Leftrightarrow$ у неё все точки разрыва первого рода.

Почитал определение интеграла у Шварца. Но там иначе, чем у Ленга: сначала для неотрицательных $f:\mathbb R\to \mathbb R$ с компактным носителем определяется $\int^*f$ как инфимум интегралов по ступенчатым функциям, которые мажорируют $f$. Функция $g:\mathbb R\to F$ (где $(F,\|\cdot\|)$ -- банахово) интегрируема, если есть последовательность ступенчатых $(g_n)_{n\in\mathbb N}$, так что $\int^* \|g-g_n\|\to 0$.

В этом случае для $F=\mathbb R$ будет ли класс интегируемых функций совпадать с классом интегрируемых по Риману (ограниченные и непрерывные п.в.)? В любом случае у Шварца как-то сложновато, поэтому меня по прежнему интересует вопрос
corvus42 в сообщении #874907 писал(а):
можно ли определить интеграл в том же стиле, что и в первом сообщении, но чтобы все интегрируемые по Риману функции попали в замыкание? Может вместо ступенчатых взять другие функции или норму другую взять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
corvus42
Посмотрите ссылку из этого сообщения: http://dxdy.ru/post826140.html#p826140.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 23:25 


09/03/14
57
ex-math
Я верно понял, что если в
corvus42 в сообщении #874837 писал(а):
сначала определяем интеграл на пространстве ступенчатых функций (c sup-нормой) как сумму, а потом, используя линейность, расширяем интеграл на замыкание.

заменить ступенчатные функции на конечные линейные комбинации индикаторов измеримых по Жордану множеств, то получим интеграл Римана? А если не Жордана, а Лебега -- то интеграл Лебега?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 23:51 


10/02/11
6786
интеграл Лебега мы получим, только если замыкать по $sup$- норме линейные комбинации индикаторов измеримых по Лебегу множеств, то мы получим пространство $L^\infty$ это далеко не все суммируемые функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение14.06.2014, 10:00 


09/03/14
57
Ясно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group