Теория групп 2

[Foxer]

Задача. Покажите, что нетривиальная нормальная подгруппа конечно порожденной свободной группы конечно порождена тогда и только тогда, когда когда ее индекс конечен.

В одну сторону есть даже более общее утверждение, а именно - подгруппа конечного индекса конечно порожденной группы конечно порождена. Вот в обратную сторону уже не совсем ясно. У нас есть подгруппа $H$ свободной группы $G$, мы знаем, что она нормальна и нетривиальна. По теореме Нильсена-Шрайера она также является свободной. Также у нас есть сведения о том, что она конечно порождена. Далее я как-то не совсем понимаю что делать. Скорее всего нужно рассмотреть какие-нибудь действия групп на деревьях, или же накрытия графов.

Также не сильно ясно, как использовать нормальность. Хотя, если нет нормальности, то контрпример достаточно легко привести. Например, $F_2 \supset F_\infty \supset F_1$. Ясно, что это подгруппа будет бесконечного индекса, но все условия, кроме нормальности, для нее выполняются.

[apriv]

Рассмотрите букет окружностей, соответствующий свободной группе; любой ее нормальной подгруппе соответствует некоторое накрытие. Фактор-группа действует на этом накрытии транзитивно. Из конечной порожденности следует, что если избавиться в этом накрытии от конечного числа деревьев, останется компактный подграф с той же фундаментальной группой. Если фактор бесконечен, то этот граф обязан быть деревом — противоречие.

[Foxer]

apriv в сообщении #874854 писал(а):

Рассмотрите букет окружностей, соответствующий свободной группе; любой ее нормальной подгруппе соответствует некоторое накрытие. Фактор-группа действует на этом накрытии транзитивно. Из конечной порожденности следует, что если избавиться в этом накрытии от конечного числа деревьев, останется компактный подграф с той же фундаментальной группой. Если фактор бесконечен, то этот граф обязан быть деревом — противоречие.

Хотелось бы все-таки поворошить прошлое и поведать людям нормальное решение данной задачки, авось заинтересуются и решат поизучать теорию групп посерьезней. Мы переведем задачу на геометрический язык, а оттуда уже будет очевидным образом все следовать. Начало правильное.

Рассмотрим букет окружностей, соотвествующий свободной группе. Любой ее (не только нормальной) подгруппе соответствует некоторое накрытие. Далее мы вспоминаем, что индекс группы - индекс накрытия (как отображения), т.е. число прообразов любой из вершин. В нашем случае вершина одна, значит ее прообразы - все накрытия. Т.е. задача свелась к следующей: доказать, что накрытие состоит из конечного числа вершин.
В кармане у нас еще 2 карты: конечная порожденность и нормальность подгруппы. Сначала пустим в ход конечную порожденность. Любое накрытие можно представить в виде какого-то подграфа, в котором есть циклы (назовем его головой) и приклееным к нему некоторое (возможно бесконечное) число бесконечных деревьев (это будут хвосты). Заметим просто, что пути в фундаментальной группе в эти деревья попасть никак не смогут, если отмеченная вершина была выбрана внутри головы. Замечание не играет никакой роли в доказательстве.
Так вот из конечной порожденности, вполне сносно (треть странички) доказывается, что голова должна быть конечна. Остается доказать, что у накрытия нет хвостов. Воспользуемся еще одним утверждением. Если подгруппа нормальна, то взятие сначала образа, а потом какого-нибудь прообраза замкнутого пути является путем замкнутым. Пусть теперь у нас есть хвост. Возьмем замкнутый путь длины $n$. Уйдем вглубь дерева на $n+1$ шаг в вершину $x$. Тогда, если мы возьмем прообраз с началом в вершине $x$, то, очевидно, путь будет не замкнутым.

Побольше почитать по этому делу вы можете здесь , в разделе "свободные группы".