2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение11.06.2014, 10:35 


09/03/14
57
Начинаю изучать диф. формы. Там второй дифференциал всегда нулевой. В классическом курсе же были производные произвольных порядков и вообще говоря не нулевые. Как это согласуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение11.06.2014, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Второй дифференциал нулевой - это аналог, например, таких утверждений трёхмерного анализа, что $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ и $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0.$

Надо понимать, что дифференциал (exterior derivative) дифформы - это не просто производная, в том смысле, как например, её берут от тензора, а ещё и антисимметризация этой тензорной производной. Вот эта антисимметризация и "убивает" лишнее. Например, пусть мы имеем некий полностью антисимметричный тензор $T_{i\ldots j},$ и берём от него вторую производную: $T_{i\ldots j,kl}.$ Теперь мы должны полностью антисимметризовать результат, а это значит, что мы на каждое слагаемое вида $\pm T_{\ldots\,,pq}$ получаем слагаемое вида $\mp T_{\ldots\,,qp}.$ А они равны! Вот и получается нуль.

Да и вообще, дифформы существуют не произвольных порядков. В $n$-мерном пространстве бывают дифформы порядков только $1\ldots n,$ а все остальные нулевые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 10:04 


09/03/14
57
Производные тензоров мне пока незнакомы, поэтому не понял вашего ответа.

Давайте более простую ситуацию, гладкая $f:\mathbb R\to\mathbb R$. В классическом анализе (а-ля Фихтенгольц и учебники для втузов) мы видим:$$df=f'\,dx,\quad d^2f=d(f'\,dx)=f''\,dx^2,\quad\text{и т.д.}$$
В учебниках про диф. формы мы видим:$$df=f'\,dx\,\quad d^2f=f''dx\wedge dx=0,\quad \text{дальше нули}$$

Чем отличается по существу классическое $dx$ от $dx$ как дифференциальная форма. Почему формальные правила дифференцирования форм выбраны так, что $d(dx)=dx\wedge dx=0$, в то время как в классическом анализе мы имеем ненелувой (вообще говоря) квадрат $(dx)^2 $ ?

Например, с помощью классических дифференциалов можно записать формулу Тейлора. А с помощью диф. форм можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
corvus42 в сообщении #874846 писал(а):
Производные тензоров мне пока незнакомы

Хорошо, а хотя бы $\operatorname{rot}\operatorname{grad}$ и $\operatorname{div}\operatorname{rot}$ знакомы?

corvus42 в сообщении #874846 писал(а):
Чем отличается по существу классическое $dx$ от $dx$ как дифференциальная форма.

Почти ничего общего, просто похожие обозначения.

corvus42 в сообщении #874846 писал(а):
Почему формальные правила дифференцирования форм выбраны так, что $d(dx)=dx\wedge dx=0$, в то время как в классическом анализе мы имеем ненелувой (вообще говоря) квадрат $(dx)^2 $ ?

Ну просто так выбраны. Можете считать, что по принципу "почему бы и нет".

Не беспокойтесь, информация не теряется. Да, в дифформах мы не можем записать вторую производную. Но можем в тензорах. Есть два разных обобщения векторов: тензоры и дифформы.

Векторы
- в $n$-мерном пространстве имеют $n$ компонент;
- образуют линейное пространство: операции сложения и умножения на число;
- связаны со скалярами операциями градиента $s\mapsto v$ и дивергенции $v\mapsto s$;
- в 3-мерном пространстве имеют операцию векторного произведения;
- в 3-мерном пространстве имеют операцию ротора $v\mapsto v.$

Дифференциальные формы бывают степени (порядка) $p$:
- в $n$-мерном пространстве имеют $C_n^p=\tfrac{n!}{p!(n-p)!}$ компонент; отсюда $p\leqslant n$;
- знакопеременны: при перестановке любых двух аргументов меняют знак;
- образуют линейное пространство: операции сложения и умножения на число;
- имеют операцию внешнего произведения;
- связаны с формами степени $p\pm 1$ операцией внешнего дифференциала (exterior derivative);
- в частных случаях дают векторные операции векторного произведения, градиента, дивергенции, ротора.

Тензоры бывают ранга (валентности, типа) $p$:
- в $n$-мерном пространстве имеют $n^p$ компонент;
- в общем случае не симметричны по перестановке аргументов, но бывают в частных случаях симметричны и антисимметричны (= кососимметричны);
- образуют линейное пространство: операции сложения и умножения на число;
- имеют операции тензорного произведения, свёртки, симметризации и антисимметризации, (подъёма и спуска индекса);
- связаны с тензорами ранга $p+1$ операцией ковариантной производной (тензорного градиента); до изучения многообразий можно считать её совпадающей с "простой" производной;
- в частных случаях дают векторные операции векторного произведения, градиента, дивергенции, ротора;
- полностью антисимметричный тензор имеет $C_n^p$ компонент, и может быть отождествлён с $p$-формой - так что, в этом частном случае тензоры дают дифформы и все операции над ними.

Для тензоров вторая производная в общем случае не равна нулю. И никакая $k$-я не равна нулю. Именно с помощью тензоров записывают формулу Тейлора:
    svv в сообщении #856393 писал(а):
    $$y(\mathbf x+\mathbf h)=y(\mathbf x)+\frac{\partial y}{\partial x^i}(\mathbf x) h^i+\frac 1 2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^i \partial x^k}(\mathbf x) h^i h^k+\frac 1 6 \frac{\partial^3 y}{\partial x^i \partial x^k \partial x^\ell}(\mathbf x) h^i h^k h^\ell+...$$ ... где в каждом слагаемом по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
Вот эти вот штуки $\dfrac{\partial^3 y}{\partial x^i \partial x^k \partial x^\ell}$ с несколькими свободными индексами $i,k,\ell\ldots$ - это как раз и есть тензоры. То есть, весь набор частных производных $p$-го порядка образует тензор ранга $p$ (хотя, конечно, это не определение, а тензором ранга $p$ бывает вообще $n^p$ каких-то величин).

Итак, то, что вам хочется, бывает не в теории дифформ, а в теории тензоров. А зачем же тогда теория дифформ? А она для другого. Для чего именно - поначалу новичку объяснить очень сложно. Наиболее простой и прямой путь к пониманию дифформ, как мне кажется, - это через теорему Стокса (обобщённую). Практически, дифформы - это такие объекты, чтобы к ним можно было применять теорему Стокса, всегда и везде. По ходу дела, оказалось, что они обладают довольно важными свойствами с точки зрения топологии, и основанных на ней теорий. Например, главное свойство дифференциальных форм $d(d\varphi)=0$ в каком-то смысле "параллельно" тому топологическому свойству, что "граница границы равна нулю". В чём вы можете убедиться, представляя себе кусок поверхности (его граница - замкнутая линия, а концов у этой линии нет), объёмное тело (его граница - замкнутая поверхность, не имеющая краёв), просто кусок линии (его граница - две точки на концах, а у точек границ нет... ладно, это сложновато).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 14:11 
Аватара пользователя


13/08/13

4323

(Оффтоп)

Munin в сообщении #874910 писал(а):
просто кусок линии (его граница - две точки на концах, а у точек границ нет... ладно, это сложновато).

а это непонятно, ведь минимально возможная форма-нуль-форма(скалярная функция), и ей соответствует случай
Munin в сообщении #874910 писал(а):
представляя себе кусок поверхности (его граница - замкнутая линия, а концов у этой линии нет)

а вот как еще спуститься вниз я не представляю :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #874917 писал(а):
Munin в сообщении #874910 писал(а):
просто кусок линии (его граница - две точки на концах, а у точек границ нет... ладно, это сложновато).

а это непонятно, ведь минимально возможная форма-нуль-форма(скалярная функция), и ей соответствует случай
Munin в сообщении #874910 писал(а):
представляя себе кусок поверхности (его граница - замкнутая линия, а концов у этой линии нет)

а вот как еще спуститься вниз я не представляю :-)

Скалярной функции как раз соответствует 0-мерное многообразие - точка. А линия 1-мерна, а кусок поверхности - 2-мерен. Интегралу по куску поверхности, в смысле обобщённой теоремы Стокса, соответствует обычная (3-мерная) теорема Стокса $\int\operatorname{rot}v\cdot dS=\oint v\cdot dl.$ Здесь ротор - операция, делающая из 1-формы $v$ 2-форму $\operatorname{rot}v,$ а взятие границы - операция, делающая из 2-мерной площадки $dS$ 1-мерный элемент контура этой площадки $dl.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 14:20 
Аватара пользователя


13/08/13

4323

(Оффтоп)

но мы сейчас говорим по $d(d\varphi)=0$, так вот, $\varphi$ это какая степени форма?(в вашем случае про границы точек). Те дифференциал нужно брать два раза, и получаем поверхность, граница границы которой(линия) есть ноль

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #874917 писал(а):
а вот как еще спуститься вниз я не представляю :-)

И многообразия размерности ниже 0, и формы степени ниже 0 можно просто все считать нулями чисто аксиоматически.

Если очень хочется это "представить", то можно посмотреть на такую аналогию. В топологии по-разному представляют пространство и геометрические формы, и замечательный результат состоит в том, что их топологические свойства оказываются одинаковыми. Один из таких подходов называется симплициальной топологией - от слова "симплекс", то есть обобщение понятий "отрезок, треугольник, тетраэдр...". Евклидов симплекс - это выпуклая оболочка $k+1$ точек, таких, что векторы от одной из них ко всем остальным - линейно независимы. Можно представить себе абстрактный симплекс - это просто множество $k+1$ несовпадающих элементов, называемых "вершинами". Ориентированный абстрактный симплекс - упорядоченное множество. Граница симплекса - это сумма его $k-1$-мерных граней, взятых с нужными ориентациями:
$$\partial[0,1,\ldots,k]=\sum(-1)^i[0,\ldots,i-1,i+1,\ldots,k].$$ Тогда сразу получается, что 0-мерный симплекс - точка - это 1-элементное множество, а его грани - 0-элементные множества, то есть пустые.


-- 13.06.2014 15:38:59 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #874923 писал(а):
но мы сейчас говорим по $d(d\varphi)=0$, так вот, $\varphi$ это какая степени форма?

Вообще - любой.

Sicker в сообщении #874923 писал(а):
(в вашем случае про границы точек)

Не надо путать границы многообразий и дифференциалы дифформ. Это разные операции с разными объектами. Они всего лишь соответствуют друг другу по теореме Стокса (и по категорной двойственности). Например, дифференциалы дифформ обозначаются $d,$ а границы многообразий - $\partial.$


-- 13.06.2014 15:42:30 --

Sicker
Давайте с вами прекратим обсуждение, или по крайней мере, приостановим. Вы очень плохо поступили: схватили пару слов, и поскакали с ними в пампасы. Это всё не основания дофантазировать кучу самостоятельных выводов. Это всё части большой теории, которую надо читать долго и тщательно. Даже двух теорий: дифференциальной геометрии (глава о дифференциальных формах), и алгебраической топологии (глава о гомологиях и когомологиях).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 14:43 
Аватара пользователя


13/08/13

4323

(Оффтоп)

Цитата:
Вообще - любой.
в вашем случае про границы точек?(считаем, что минимально возможная степень формы-нуль(скалярная функция))


Цитата:
Не надо путать границы многообразий и дифференциалы дифформ. Это разные операции с разными объектами. Они всего лишь соответствуют друг другу по теореме Стокса (и по категорной двойственности). Например, дифференциалы дифформ обозначаются $d,$ а границы многообразий - $\partial.$
это понятно, вот я только и про соответствие и говорю :-)


-- 13.06.2014, 15:45 --
Munin
да я ничегошеньки не фантазировал, а просто задал вопрос про соответствие :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #874931 писал(а):
в вашем случае про границы точек?

В моём случае про границы точек - вообще никаких дифформ не фигурирует.

Sicker в сообщении #874931 писал(а):
это понятно, вот я только и про соответствие и говорю :-)

Чтобы про него говорить, его надо сначала построить. А вы знаете как? Я вам не говорил, если что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 15:13 
Аватара пользователя


13/08/13

4323

(Оффтоп)

Munin в сообщении #874939 писал(а):
В моём случае про границы точек - вообще никаких дифформ не фигурирует.

тогда вопрос снят :mrgreen:
Munin в сообщении #874939 писал(а):
Чтобы про него говорить, его надо сначала построить. А вы знаете как? Я вам не говорил, если что.

ну примерно да, ведь есть же определение внешнего дифференциала через теорему Стокса(те спереду назад)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 21:24 
Заслуженный участник


06/02/11
356
Munin, вы запутаете ТС: дифформы это частный случай тензоров. ${\rm d}x^{i_1}\wedge\dots\wedge{\rm d}x^{i_n}=\sum_{\sigma}(-1)^{{\rm sign}(\sigma)}{\rm d}x^{\sigma(i_1)}\otimes\dots\otimes{\rm d}x^{\sigma(i_n)}$

ТС, краткий ответ на ваш вопрос такой: аналогом ${\rm dd}\omega=0$ является $(\partial_i\partial_j-\partial_j\partial_i)f=0$. (Я обозначаю $\partial_i\equiv \partial/\partial x^i$.)
Диф. формы -- это антисимметричные тензоры, т.е. функции с индексами $\omega_{i_1\dots i_n}$, с условием антисимметричности. Внешний дифференциал вычисляется по рецепту: взять производную, и антисимметризовать индекс у производной с имеющимися индексами омеги. Если мы повторим внешнее дифференцирование дважды, то нам придется антисимметризовать по индексам две производные, а поскольку частные производные коммутируют, мы получим ноль.

Можно на тензорах определить и обычный дифференциал, без антисимметризации, только он будет переводить антисимметричные тензоры в не обязательно антисимметричные, т.е. будет выводить за класс диф. форм. Кроме того, на кривом многообразии производные надо заменять на ковариантные. Внешнее дифференцирование приятно тем, что кристофеля сокращаются из-за антисимметризации, и можно писать обычные производные.

Буковки $dx^i$ в обычном дифференциале и в диф. формах одни и те же, но перемножены по-разному. В диф. формах их произведение антисимметризовано. В дифференциале функции оно симметризовано, т.к. производные коммутируют. В дифференциале тензора в общем случае они не симметризованы и не антисимметризованы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 21:29 


09/03/14
57
Теперь ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну вот. Я ввёл одно незнакомое слово, и мне сказали "неясно". type2b ввёл целую кучу незнакомых слов, и ему сказали "ясно" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по диф. формам
Сообщение13.06.2014, 22:05 


09/03/14
57
Ясно по совокупности сообщений :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group