2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство одного факта про интерполяционные полиномы
Сообщение08.06.2014, 23:02 


05/09/12
2293
Недавно в этой теме я опытным путем обнаружил один имхо забавный факт, который скорее всего уже давно известный велосипед, но я не обнаружил его упоминания в литературе. Тогда я подумал, что его доказательство мне будет не по силам, и даже не предпринимал попытки. Но сегодня решил попробовать, и получилось простое и даже тривиальное доказательство.
Напомню формулировку факта: пусть мы имеем интерполяционный полином, построенный по некоторым значениям на четном количестве точек равномерной сетки $$x_{-k}, x_{-(k-1)},...x_0, x_1,...x_{(k-1)}, x_{k}, x_{(k+1)}$$. Тогда все четные производные этого полинома в точке $x_0$ совпадают с производными тех же порядков интерполяционного полинома, построенного по точкам $$x_{-k}, x_{-(k-1)},...x_0, x_1,...x_{(k-1)}, x_{k}$$, а в точке $x_1$ - полинома, построенного по точкам $$x_{-(k-1)},...x_0, x_1,...x_{(k-1)}, x_{k}, x_{(k+1)}$$. Из этого факта в плане практики следует более простой и оптимальный алгоритм построения интерполяционного полинома по исходному набору точек, а в плане теории, например, что у построенной по кускам интерполирующих полиномов на каждом центральном интервале интерполирующей функции все производные четных порядков, включая нулевую, будут или непрерывны, или иметь устранимые точки разрыва лишь в узлах интерполяции.

Собственно, доказательство. Рассмотрим функцию на равномерной сетке из нечетного количества точек - сделаем смещение аргумента, приводящее аргумент центрального узла в $0$: $$x_{-k}, x_{-(k-1)},...0,...x_{(k-1)}, x_{k}$$. Существует ее единственный интерполяционный полином $P_0(x)$. Добавим к этому набору точек еще одну справа $x_{(k+1)}$. Интерполяционный полином на расширенном наборе точек при условии равномерной сетки можно представить в форме ньютона $$P_1(x) = P_0(x) + A(x-x_{-k})(x-x_{-(k-1)})....(x-0)....(x-x_{(k-1)})(x-x_{k})$$, где $A$ - некая константа, в данном случае не важно как вычисляющаяся. В силу равномерности сетки $$-x_{-i} = x_i$$, значит $$P_1(x) = P_0(x) + A(x^2-x_{k}^2)(x^2-x_{(k-1)}^2)....(x^2-x_1^2)(x-0)$$. Очевидно, что в правой части стоит сумма $P_0(x)$ и полинома с ненулевыми коэффициентами только при нечетных степенях аргумента. Значит, коэффициенты при четных степенях у полиномов $P_1(x)$ и $P_0(x)$ совпадают, а все четные производные любого полинома в нуле определяются только соответствующим его коэффициентом при четной степени аргумента. Таким образом, все четные производные $P_1(x)$ и $P_0(x)$ совпадают.
Проделав аналогичные рассуждения при добавлении к исходному набору точек дополнительной точки слева, мы получим тот же результат - вторые производные в нуле у исходного полинома и полинома по расширенному набору точек совпадают. Значит, исходная гипотеза доказана.

ЗЫ Понимаю, что долго и нудно, сам устал многочисленные индексы в ТЕХе набирать, но при кратком изложении могли потребовать разжевать по полочкам... Возможная критика и комментарии приветствуются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство одного факта про интерполяционные полиномы
Сообщение08.06.2014, 23:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31275
Вы типо изобрели теорему о том, что симметричные формулы численного дифференцирования при определённых условиях (при согласованности чётностей количества точек и порядка производной) имеют на единицу более высокий порядок точности, чем это следовало бы из общих соображений.

Ну или я совсем не понимаю, что Вы изобрели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство одного факта про интерполяционные полиномы
Сообщение08.06.2014, 23:50 


05/09/12
2293
ewert, если я вас правильно понял, то да, все четные производные интерполяционных полиномов по четному количеству точек в краях центрального интервала совпадают с теми же производными интерполяционных полиномов на единицу меньшего набора точек - в тех же точках, которые для меньшего набора стали центральными.
Я пока из этого выжал оптимизацию алгоритма численного расчета интерполирующей функции, базирующейся на полиномах и факт непрерывности всех четных производных такой функции, как уже написал. Что из этого можно выжать еще и можно ли - пока не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group