2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 тензорный анализ. rot(x/|x|), div(x/|x|), grad(x/|x|)
Сообщение07.06.2014, 11:42 


17/12/13
9
Добрый день, помогите пожалуйста разобраться тензорным анализом.
с ротором, как я понимаю будет так:
$\operatorname{rot}$$\frac{\vec{x}}{\left| \vec{x}\right|}$$=\nabla_{i}\frac{x_{j}}{\left| \vec{x}\right|}e_{ijk}=\frac{\nabla_{i}x_{j}\left| \vec{x}\right|e_{ijk}-\frac{x_{i}}{\left| \vec{x}\right|}x_{j}e_{ijk}}{{\left| \vec{x}\right|}^2}=0$
тк в первом слагаемом зануляется $e_{iik}$, во втором векторное произведение самого на себя.
правильно ли делаю? чему будет равна дивергенция?
градиента, я так понимаю существовать не будет, потому что $x/|x|$ - вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорный анализ. rot(x/|x|), div(x/|x|), grad(x/|x|)
Сообщение07.06.2014, 12:40 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, вычисление правильное. Как именно целесообразно вычислять — зависит от того, чем Вам разрешено пользоваться. Хочется использовать то, что векторное поле $\mathbf e_r=\frac{\mathbf r}{r}$ центральносимметрично. Хорошо, если известны выражения дифференциальных операторов в сферической системе, например
$\operatorname{div}\mathbf{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( A_r r^2 \right) + \frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( A_\theta \sin{\theta} \right) + \frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}$
Тогда просто подставляем $A_r=1, A_\theta=0, A_\varphi=0$.

Если эта формула незнакома, можно использовать теорему Гаусса-Остроградского, из которой следует, что если поле $\mathbf A$ имеет вид $A_r(r)\mathbf e_r$, то
$r^2\operatorname{div}\mathbf A=\frac d {dr}\left(r^2 A_r\right)$

Если и это нельзя, вычисляйте тем же методом, что и ротор.

const_fadeev в сообщении #872702 писал(а):
градиента, я так понимаю существовать не будет, потому что $x/|x|$ - вектор.
Можно ли находить градиент от вектора? Здесь ситуация как в известном анекдоте. Градиентом тензора $T_{jk\ell}$ называется тензор с компонентами $\nabla_i T_{jk\ell}$, но каков объем материала в Вашем курсе — не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорный анализ. rot(x/|x|), div(x/|x|), grad(x/|x|)
Сообщение07.06.2014, 17:06 


17/12/13
9
тогда правильно ли я понимаю, что:
\operatorname{div}\frac{\vec{x}}{\left| \vec{x}\right|}=\frac{2}{\left| \vec{x}\right|}

а с градиентом то как быть? допустим, он будет существовать, как Вы сказали. но я дошел только вот до такого момента:
$$$\nabla_{i}\frac{x_{j}}{\left| \vec{x}\right|}=\frac{\delta _{ij}\left| \vec{x}\right|-\frac{x_{i}x_{j}}{\left| \vec{x}\right|}}{\left| \vec{x}\right|^{2}}$$$

а дальше как?

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорный анализ. rot(x/|x|), div(x/|x|), grad(x/|x|)
Сообщение07.06.2014, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А дальше никак, это и есть тензорная запись градиента.

-- 07.06.2014 18:50:44 --

Ну, полезно посмотреть, например, что он собой представляет как линейный оператор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group