2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение08.06.2014, 00:01 


09/01/14
48
19.11(б), как записано в тетради (в аналогичной задачке), имеет фундаментальное решение $E=\theta(t) y_{0}(t)$, где $y_{0}$ решение системы: \left\{\!\begin{aligned}
&  y_{0}(0)=y'_{0}(0)=...=y^{(n-2)}_{0}(0)=0  \\
&  y^{(n-1)}_{0}(0)=1  \\
&  Ly_{0}=0
\end{aligned}\right.
Значит, $y_{0}(t)=\sin(t)$, насколько мне известно, фундаментальных решений может быть много?! В ответе, $\theta(x) \sin(x)$, мне кажется, ответ верен, тогда, где я допустил ошибку?

 Профиль  
                  
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение08.06.2014, 00:08 


10/02/11
6786
Ivan0001 в сообщении #872926 писал(а):
я немного сбит с толку))

use Theorem 8.14 and for the $\phi$ take a function from $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ I am tired to switch the keyboard every time

 Профиль  
                  
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение08.06.2014, 00:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ivan0001 в сообщении #872968 писал(а):
где я допустил ошибку?

Какую ошибку -- и где, собссно?...

Ivan0001 в сообщении #872968 писал(а):
насколько мне известно, фундаментальных решений может быть много?!

Конечно. В принципе, фундаментальное решение -- это решение соотв. дифура с дельта-функцией в правой части. И таких решений бесконечно много, разумеется.

А дальше -- всё зависит от того, какие дополнительные условия накладываются. Вот в аналогичном многомерном случае естественными допусловиями являются сферическая симметрия плюс стремление к нулю на бесконечности. В вашем же (одномерном) случае, судя по приведённой Вами задачке, таковым условием считается принадлежность этого решения классу оригиналов (в смысле операционного исчисления). Ну тогда, естественно, Хевисайд на синус.

 Профиль  
                  
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение12.06.2014, 18:28 


09/01/14
48
ewert в сообщении #872984 писал(а):
Ivan0001 в сообщении #872968
писал(а):
где я допустил ошибку?
Какую ошибку -- и где, собссно?...

В ответе фундаментальное решение зависит от $x$, а при решении мы берем его, как функцию, зависящую от $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение12.06.2014, 18:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ivan0001 в сообщении #874688 писал(а):
В ответе фундаментальное решение зависит от $x$, а при решении мы берем его, как функцию, зависящую от $t$.

Ну это уже совсем какая-то ерунда. Какая разница, какой буквой обозначать аргумент?

 Профиль  
                  
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение12.06.2014, 19:50 


09/01/14
48
ewert в сообщении #874692 писал(а):
Ivan0001 в сообщении #874688
писал(а):
В ответе фундаментальное решение зависит от $x$, а при решении мы берем его, как функцию, зависящую от $t$.
Ну это уже совсем какая-то ерунда. Какая разница, какой буквой обозначать аргумент?

Простите, ewert, фундаментальное решение зависит от $x$ и $t$, поэтому подобный ответ меня немного путал в правильности моего решения.

Oleg Zubelevich в сообщении #872879 писал(а):
надо сворачивать $f$ с $\delta$-образной последовательностью из $\mathcal{S}(\mathbb{R})$.

8.14 Theorem. Suppose $\varphi \in L^1$ and \int \varphi(x) dx =a
a. If f \in L^p (1 \leqslant p <\infty), then f \ast \varphi_{t} \to a \cdot f in the L^p norm as t \to 0.
b. If f is bounded and unifonnly continuous, then f \ast \varphi_{t} \to a \cdot f uniformly as
t \to 0.
c. If f \in L^{\infty} and f is continuous on an open set U, then f \ast \varphi_{t} \to a \cdot f unifonnly on compact subsets of U as t \to O.

Здесь, \varphi_{t}(x)=t^{-n} \cdot \varphi(t^{-1} \cdot x)

Раз, f \in L^1, то \int\limits_{R} |f(x)|dx=\left\| f \right\|_{L^1} =\operatorname{const}=a. Беру \psi \in S(R), получаю \psi \ast f_{t}\to a \cdot \psi, но где мне это теперь нужно использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение12.06.2014, 19:59 


10/02/11
6786
ну плохо, что даже теперь не понимаете.
У нас есть $(f,\psi)=0$ -- для любого $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ значит $f*\psi_t=0$, но при этом $f*\psi_t\to f$ значи $f=0$ пв

 Профиль  
                  
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение12.06.2014, 21:18 


09/01/14
48
Oleg Zubelevich в сообщении #874728 писал(а):
значит $f \ast \psi_t=0$, но при этом $f \ast \psi_t\to f$


$(f \ast \psi_t)(x)=\int\limits_{R} f(y) \cdot t^{-n} \cdot \psi(\frac{ x-y }{ t })  dy$.
$ (f,\psi)=\int\limits_{R} f(y) \cdot \psi(y) dy$. Выглядят они по разному, но, видимо, $\psi(\frac{ x-y }{ t }) $ принимает те же значения, что и $\psi(y)$, поэтому $f \ast \psi_t=0$. Далее, видимо, \int\limits_{R} \psi(y)dy=1. Здесь мы берем именно такую \psi \in S(R)?! Поэтому п.в.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group