Интеграл по времени от случайного процесса.

[Fraktalius]

Здравствуйте. На семинарах столкнулся со следующей задачей по случайным процессам. Я не знаю, как называются объекты, о которых идет речь, но знаю их определения, поэтому напишу здесь их.

Пусть процесс $\xi_t$ определен на моментах времени $[0;1] =: T$. Отмеченным разбиением отрезка $[0;1]$ называется его разбиение на отрезки, в каждом из которых отмечена некая точка (иными словами, множество пар $(\Delta_i,t_i)$, где $t_i\in\Delta_i$, а отрезки $\Delta_i$ длин $|\Delta_i|$пересекаются лишь по граничным точкам и покрывают T целиком). Диаметром разбиения назовем наибольшую из длин его отрезков. Рассмотрим всевозможные отмеченные разбиения отрезка $[0;1]$. Для каждого из них зададим случайную величину
$\sigma(T,\omega) := \sum_{t_i\in\Delta_i}{\xi_{t_i}(\omega)|\Delta_i|}$ - "стохастическую Риманову сумму".

Если предел по вероятности таких сумм при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, существует, то назовем его "случайным интегралом" случайного процесса $\xi_t$ на отрезке [0;1].

Пусть случайный процесс $\xi_t$ есть

$$\xi_t = \begin{cases} \frac{1}{\tau-t},&\text{если $\tau > t$}\\ 0,&\text{если $\tau\leqslant t$}\end{cases}$$

, где $\tau$ - равномерно распределенная на отрезке $[0;1]$ случайная величина. Доказать, что не существует случайного интеграла от процесса $\xi_t$ на отрезке $[0;1]$.

Семинарист называет этот тип интегралов "стохастическими интегралами", но я, посмотрев определения, что-то сильно сомневаюсь что это они и есть - по крайней мере, я не вижу чтобы данная конструкция была частным случаем какого-то из них. Я попытался расписать нужный предел по определению, и пришел к тому, что количество слагаемых в интегральной сумме является случайной величиной $n(\omega)$, равной последнему n, такому, что $t_n < \tau(\omega)$ (остальные слагаемые суммы для такого $\xi$ при данном $\omega$ нули). Посмотрел критерий сходимости по вероятности, но что-то все равно не вижу, к чему здесь можно подобраться. Если у кого-то встречалось что-то в этом духе - подскажите, пожалуйста.

[Henrylee]

Если бы (любая из) последовательность интегральных сумм сходилась по вероятности, то существовала бы ее подпоследовательность, сходящаяся с вероятностью единица. Но любая подпоследовательность (как и вся последовательность) сходится лишь с вероятностью $0$ (на событии $\{\tau=0\}$).