2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функция из S' (ошибка в некоторых учебниках)
Сообщение02.06.2014, 21:51 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Возьмем некоторую непрерывную функцию $f(x) > 0$ на $\mathbb{R}$. Пусть она задает функционал на $S$ посредством интеграла, т.е. $f(\varphi) = \int f\varphi dx$. В некоторых учебниках пишется, что все вышеописанные функции имеют полиномиальный рост, но это неправда! Что правда, так это то, что первообразная от $f$ имеет полиномильный рост.
Задача. Привести пример функции, которая удовлетворяет условиям выше, но не является функцией полиномильаного роста.

Вроде как я решил задачу, но хочется удостовериться, что решил правильно.
Решение.
Возьмем следующую функцию $f$ - тождественная единица, а во всех целых точках сделаем холмики $h_n$, чтобы $f(n) = n^n$, а площадь под холмиком равна $1$. Эта функция и правда лежит в $S'$, допустим, $\int f \varphi \leq \int \varphi + \sum_{i = -\infty}^{\infty} max_{x \in [i, i+1]}\varphi(x)$. Ну а последняя сумма максимумов, естественно, сходится. Остается заметить, что из-за "всплесков" функция не имеет полиномиального роста. По данному примеру сразу видно, чем приглянулась в данном случае первообразная. Она сглаживает эти всплески.

Да, принадлежность $S'$ доказано плохо (нужно бы по-хорошему еще один очевидный шаг произвести), но хочется узнать, верны ли все остальные рассуждения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция из S' (ошибка в некоторых учебниках)
Сообщение02.06.2014, 22:05 


10/02/11
6786
Foxer в сообщении #871117 писал(а):
В некоторых учебниках пишется, что все вышеописанные функции имеют полиномиальный рост,

в каких учебниках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция из S' (ошибка в некоторых учебниках)
Сообщение02.06.2014, 22:12 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Oleg Zubelevich в сообщении #871129 писал(а):
Foxer в сообщении #871117 писал(а):
В некоторых учебниках пишется, что все вышеописанные функции имеют полиномиальный рост,

в каких учебниках?

Преподаватель, который дал задачу, не уточнял. Хотя, вполне можно ему поверить. Допустим, и Колмогоров в своих книжках по функциональному анализу ошибался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция из S' (ошибка в некоторых учебниках)
Сообщение02.06.2014, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Foxer в сообщении #871117 писал(а):
Что правда, так это то, что первообразная от $f$ имеет полиномильный рост.


А это откуда? Возьмите производную от Вашей функции, ее первообразная не будет иметь полиномиальный рост.

Foxer в сообщении #871117 писал(а):
В некоторых учебниках пишется, что все вышеописанные функции имеют полиномиальный рост, но это неправда!


По-моему, полиномиальный рост будет только в среднем, в смысле $\int|f(x)|(1+|x|)^{-n}<+\infty$ для некоторого $n$.

Никакой поточечной полиномиальной ограниченности, разумеется, ожидать нельзя. Начиная с того, что регулярная обобщенная функция определена с точностью до множества меры нуль, и в счетном множестве точек можно задать какой угодно рост; и заканчивая тем, что функция $\sum_{n\in \mathbb Z}\delta(x-n)$ принадлежит $S'$, и можно эти $\delta$-функции аппроксимировать $\delta$-образными последовательностями, улучшая качество аппроксимации на бесконечности как угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция из S' (ошибка в некоторых учебниках)
Сообщение02.06.2014, 22:38 
Аватара пользователя


14/12/13
119
g______d в сообщении #871150 писал(а):
А это откуда? Возьмите производную от Вашей функции, ее первообразная не будет иметь полиномиальный рост.

Условие положительности нарушится, сударь.

-- 02.06.2014, 22:42 --

g______d в сообщении #871150 писал(а):
Никакой поточечной полиномиальной ограниченности, разумеется, ожидать нельзя. Начиная с того, что регулярная обобщенная функция определена с точностью до множества меры нуль, и в счетном множестве точек можно задать какой угодно рост; и заканчивая тем, что функция $\sum_{n\in \mathbb Z}\delta(x-n)$ принадлежит $S'$, и можно эти $\delta$-функции аппроксимировать $\delta$-образными последовательностями, улучшая качество аппроксимации на бесконечности как угодно.

Ну короче, то что я и написал. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция из S' (ошибка в некоторых учебниках)
Сообщение02.06.2014, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Foxer в сообщении #871155 писал(а):
Условие положительности нарушится, сударь.


Прошу прощения, проглядел положительность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group