2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мультипликативно-совершенные числа
Сообщение30.05.2014, 23:50 
Аватара пользователя


01/12/11
5892
Натуральное число называется мультипликативно-совершенным, если оно равно произведению всех своих собственных делителей. Вот объяснение: http://mathworld.wolfram.com/Multiplica ... umber.html

Легко найти все мультипликативно-совершенные числа, представимые в виде: $$1!+2!+\dots +n!$$
Это будут числа 1 и 33 (всё, что больше, делится на 9, но не делится на 27).

А вот если заменить $1!+2!+\dots +n!$ на $$0!+1!+\dots +m!$$
, вот тогда возникает проблема.

Нетрудно найти первые три числа:
1, 10, 34.

Далее, можно воспользоваться «Альфой» и найти ещё несколько:
5914, 46234, 409114, 4037914.

А даальше? Открытая проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативно-совершенные числа
Сообщение31.05.2014, 23:51 
Аватара пользователя


01/12/11
5892
Вот ещё несколько:
http://www.asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/ma ... tha131.htm

-- 01.06.2014, 00:02 --

Например, 9157958657951075573395300940314.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативно-совершенные числа
Сообщение01.06.2014, 11:21 


06/07/07
212
мультипликативно-совершенные, это в точности один из взаимоискючающих вариантов:
а) 1 (нуль собственных делителей);
б) $p \cdot q$ ($p<q$, три собственных делителя: 1, $p$, $q$);
в) $p^3$ (три собственных делителя: 1, $p$, $p^2$);
где $p$ и $q$ - простые.

$!0 = 0$, $!1 = 1$, $!2 = 2$, $!3 = 4$. Где м-с число $!1 = 1$.

$!m=\sum\limits_{n=0}^{m-1} n!=2(2 k_m + 1)$ при $m \ge 4$, так как $!4=10=2(2 \cdot 2 + 1)$ и $n!=4 l_n$ при $n \ge 4$. Значит м-с числа $!m$ могут иметь только вид (б) $p \cdot q=2 \cdot q$ ($q>2$).
Нужно проверять $\frac{!m}{2}$ на простоту, что довольно легко.

Если запустить в Мапле такой код
Код:
m:=0: s:=0: while m<3 do s:=s+m!; m:=m+1 od; while m<1000 do s:=s+m!; m:=m+1; if isprime(iquo(s,2)) then print(m) fi od;

это выведет в столбик искоме значения $m \le 1000$
4, 5, 6, 9, 10, 11, 30, 76, 163, 271, 273, 354, 721

Ассимптотика $\frac{!m}{2} \thicksim m!$, вероятность стать простым числом $\nu \thicksim \frac{1}{\ln(m!)} \thicksim \frac{1}{m\ln(m)}$, а число простых среди первых $m$ вида $!m$ должно быть $N(m) \thicksim \ln(\ln(m))$. Хотя фактически наблюдается $N(m) \approx 2\ln(m)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативно-совершенные числа
Сообщение01.06.2014, 15:22 
Аватара пользователя


01/12/11
5892
ddn в сообщении #870215 писал(а):
...

4, 5, 6, 9, ...

А не 8?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативно-совершенные числа
Сообщение01.06.2014, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
А может ли случиться, что $m\mid !m$ при $m>2$? Тогда последовательность оборвется.
Вроде это гипотеза Курепы, то ли доказанная, то ли нет. См. http://dxdy.ru/topic50592.html.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативно-совершенные числа
Сообщение02.06.2014, 09:33 


06/07/07
212
Надо закрыть циклы двоеточиями, чтобы не выводить лишний мусор.
Код:
m:=0: s:=0: while m<3 do s:=s+m!; m:=m+1 od: while m<1000 do s:=s+m!; m:=m+1; if isprime(iquo(s,2)) then print(m) fi od:


Ktina в сообщении #870361 писал(а):
ddn в сообщении #870215 писал(а):
...
4, 5, 6, 9, ...

А не 8?
Да, 8, описался.

ex-math в сообщении #870672 писал(а):
А может ли случиться, что $m\mid !m$ при $m>2$? Тогда последовательность оборвется.
Вроде это гипотеза Курепы...
Точнее, это равенство отрицает гипотезу Курепы. А ее справедливость (вроде доказанная) исключает $m \mid !m$ и даже $p \mid !m$ которое $2 < p \le m$ при $m>2$. Каждое нечетное простое может встречаться среди множителей последовательности $!m$ лишь конечное число раз, но это все равно не доказывает бесконечности таких м-с чисел, скорее всего это недоказуемо.

При этом минимальные нечетные простые делители числа $!m$ могут быть очень близки к $m$, например
$minp(6)=6+1$,
$minp(16)=16+3$,
$minp(133)=133+6$,
$minp(203)=203+8$,
$minp(692)=692+9$,
$minp(7891)=7891+10$,
$minp(33820)=33820+7$,
последний даже меньше чем $m + \ln(m)$.
Возможно даже бесконечно много таких $m$, что $minp(m) \le m+c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативно-совершенные числа
Сообщение02.06.2014, 18:34 


06/07/07
212
Есть даже
$minp(193846)=193846+16$
$minp(274452)=274452+2$
последний намекает, что существуют $minp(m)=m+c$ для любого $c>0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group