2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поля, подполя
Сообщение29.05.2014, 20:24 


20/12/12
100
Пусть $F -$ конечное поле и $F^*$ - его мультипликативная группа. Доказать, что $H\cup \{0\}$ для любой подгруппы $H$ группы $F^*$ будет подполем поля $F$ тогда и только тогда, когда порядок группы $F^*$ равен $1$ или простому числу вида $2^p-1$, где $p$ - простое число.

Влево доказал.

Нужно доказать вправо.
Рассмотрим мощности:
Пусть $|F| = p^n$, тогда $|F^*|=p^n-1.$
Если $|H| = a \Rightarrow (p^n-1) \vdots a$ (т.к. $F^*$ циклическая).
Кроме того, $F_{p^m}$ будет подполем для $F_{p^n}$, только если $m|n$.

Не могу сделать из этого никакого вывода, подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля, подполя
Сообщение29.05.2014, 21:40 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
misha89 в сообщении #869340 писал(а):
Если $|H| = a \Rightarrow (p^n-1) \vdots a$ (т.к. $F^*$ циклическая).

При этом необходимо $a = p^m-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля, подполя
Сообщение30.05.2014, 02:46 
Заслуженный участник


14/03/10
867
misha89 в сообщении #869340 писал(а):
Доказать, что <...> порядок группы $F^*$ равен $1$ или простому числу вида $2^p-1$, где $p$ - простое число.
Пусть порядок $F^*$ равен $p^n-1$, Вам достаточно найти подгруппу $H$ в $F^*$, порядок которой НЕ имеет вида $p^m-1$.
Как Вы уже заметили, $F^*$ циклическая, поэтому $H$ существует для любого порядка $u|p^n-1$.
Осталось найти "плохое" $u$ 8-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group