Площадь части поверхности

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: Вычислить площадь части поверхности $z=x^2+y^2$, заключенную внутри цилиндрической поверхности $4(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$.

Есть формула:

$$S = \iint\limits_{D} \sqrt{1+ \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right ) ^2+ \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right ) ^2} dx dy$$

Тогда:

$$S = \iint\limits_{D} \sqrt{1+ (2x)^2+(2y)^2} = \iint\limits_{D} \sqrt{1+ 4(x^2+y^2)} dx dy$$

Область $D$ ограничена вот этой штукой $4(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ (это, вроде, лемниската Бернулли):

В полярных координатах уравнение этой штуки будет

$$r = \frac{1}{2} \sqrt{\cos(2 \varphi)}$$

Переходим в полярную систему координат, искомая площадь:

$$S = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{1}{2} \sqrt{\cos(2 \varphi)}} r \cdot \sqrt{1+ 4(r^2)} dr = ... = \frac{3 \sqrt{2}}{9} - \frac{\pi}{6}$$

Подскажите, пожалуйста, это действительно так просто будет? Или я что-то где-то упустил?

[Otta]

Углы не посмотрел.

[Limit79]

Otta
Спасибо!

В силу симметрии, площади обоих частей (при $x \leqslant 0$ и $x \geqslant 0$) будут равны. Для левой половины будет

$$ \frac{3 \pi}{4} \leqslant \varphi \leqslant \frac{5 \pi}{4}$$

и искомая площадь:

$$S = 2 \cdot \int\limits_{\frac{3 \pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}} d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{1}{2} \sqrt{\cos(2 \varphi)}} r \cdot \sqrt{1+ 4(r^2)} dr$$

?

А можно взять одну четверть при $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{4}$ и

$$S = 4 \cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{1}{2} \sqrt{\cos(2 \varphi)}} r \cdot \sqrt{1+ 4(r^2)} dr$$

?

[Dan B-Yallay]

Можно и так.

[Otta]

Limit79 в сообщении #868643 писал(а):

В силу симметрии, площади обоих частей (при $x \leqslant 0$ и $x \geqslant 0$) будут равны.

Угу, примерно так. Только равенство площадей тут ни при чем. Потому что Вы смотрите на лемнискату, а Вам нужно считать совсем другую площадь. Площадь поверхности над равными по площади участками совсем не обязательно одинакова. Лучше смотреть на интеграл. Ну или и на проекцию, и на поверхность одновременно. Но не на одну лишь проекцию.

Limit79 в сообщении #868643 писал(а):

можно взять одну четверть при $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{4}$

Можно, с теми же поправками.

[Limit79]

Otta
Я имел ввиду симметрию параболоида

Otta
Dan B-Yallay
Спасибо за помощь!