Является ли пространство Гильбертовым?

[Koncopd]

Помогите разобраться, пожалуйста. Есть пространство непрерывно дифференцируемых функций на [a, b] с таким скалярным произведением $ x \cdot y = \int_a^b \, [x(t)y(t) + x'(t)y'(t)] \, \mathrm{d}t. $ Надо понять, является ли оно Гильбертовым. Я вижу, что оно не является полным, а значит и Гильбертовым, но доказать неполноту не могу. Понятно, что нужно привести контрпример - взять какую-то функциональную последовательность, показать, что она фундаментальна и сходится к функции, не принадлежащей пространству непрерывно дифференцируемых функций. Вот только не могу никак я найти такую последовательность.

[Oleg Zubelevich]

из модуля икс что-нибудь соорудите

[ewert]

Koncopd в сообщении #868603 писал(а):

Вот только не могу никак я найти такую последовательность.

Видимо, потому, что Вы не с того конца начинаете. Придумайте сначала какую-нибудь нехорошую предельную функцию (т.е. такую, для которой эта норма оставалась бы осмысленной, но которая не была бы при этом гладкой). После чего придумать для этой функции последовательность сглаживающих приближений -- уже дело техники.

[Koncopd]

ewert в сообщении #868689 писал(а):

Koncopd в сообщении #868603 писал(а):

Вот только не могу никак я найти такую последовательность.

Видимо, потому, что Вы не с того конца начинаете. Придумайте сначала какую-нибудь нехорошую предельную функцию (т.е. такую, для которой эта норма оставалась бы осмысленной, но которая не была бы при этом гладкой). После чего придумать для этой функции последовательность сглаживающих приближений -- уже дело техники.

Ну вот, например, модуль икс на x от -1 до 1. Только что-то свести к нему не получается последовательность. Пробовал что-то типа такого $ |\frac{a}{n}x^2 + bx + \frac{c}{n}| $, но вроде бы не подходит.

[Brukvalub]

Нужно заменить модуль в малой симметричной окрестности 0 квадратичной функцией $y=ax^2+b$ так, чтобы в целом получилась непрерывно диф-мая функция. Два условия непрерывности в точке склейки: самой функции и первой производной дают два условия на искомые параметры.

[ewert]

Даже не обязательно квадратичной и вообще какой-либо явной. Достаточно просто заменить модуль на этом маленьком промежутке любой гладкой выпуклой функцией. Очевидно, что это возможно; ну, скажем, можно просто вписать в этот угол сколь угодно маленькую окружность.

[Koncopd]

Brukvalub в сообщении #868723 писал(а):

Нужно заменить модуль в малой симметричной окрестности 0 квадратичной функцией $y=ax^2+b$ так, чтобы в целом получилась непрерывно диф-мая функция. Два условия непрерывности в точке склейки: самой функции и первой производной дают два условия на искомые параметры.

Спасибо, понял, как эту последовательность построить. Понял также, что у меня пробелы в области функциональных последовательностей. Не подскажите, что можно почитать по этой теме с такими вот вещами?

[Brukvalub]

Вряд ли есть специальные книги "про функциональные последовательности". Им посвящены 1-2 параграфа в каждом одробном учебнике мат. анализа, такие последовательности рассматриваются как иллюстрирующие примеры в курсах функана, но вот чтобы кто-то посвятил им специальную книгу, это вряд ли.