2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифф. уравнение
Сообщение27.05.2014, 01:04 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, как лучше понижать порядок в уравнении $$y''=\sqrt{1+(y')^2}$$

Я делаю так: $$y'=p(y) \Rightarrow y''=p'p$$

Тогда: $$p'p=\sqrt{1+p^2}$$

$$\frac{pdp}{\sqrt{p^2+1}}=dy$$

Интегрируя, получаю: $$\sqrt{p^2+1} = y +C_{1}$$

Выражаю $p$: $$p=  \pm \sqrt{ (y+C_{1})^2-1}$$

Далее $$\frac{dy}{dx}=  \pm \sqrt{ (y+C_{1})^2-1}$$

$$\int \frac{dy}{\sqrt{ (y+C_{1})^2-1}}=  \pm \int dx $$

$$\ln|y+C_{1} + \sqrt{ (y+C_{1})^2-1}| = \pm x + C_{2}$$

Получен общий интеграл уравнения.

Подскажите, пожалуйста, это верно?


Не хотел использовать замену $y'=p \Rightarrow y''=p'$, так как там вообще непонятно получается (не выразить явно $p$ после первого интегрирования).

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. уравнение
Сообщение27.05.2014, 01:15 
Заслуженный участник


25/02/08
2887
Да прям не выразить
$\[y' = u\]$

$\[u' = \sqrt {1 + {u^2}} \]$

$\[\frac{{du}}{{\sqrt {1 + {u^2}} }} = dx\]$

$\[{\mathop{\rm arsh}\nolimits} u = x + C\]$

$\[u = {\mathop{\rm sh}\nolimits} (x + C)\]$

$\[y = {\mathop{\rm ch}\nolimits} (x + {C_1}) + {C_2}\]$

(кстати, если знать гиперболические функции, решение заранее очевидно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. уравнение
Сообщение27.05.2014, 01:18 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Спасибо, забыл эту формулу :-)

-- 27.05.2014, 02:48 --

Ms-dos4
$$\int \frac{dy}{\sqrt{ (y+C_{1})^2-1}}=  \pm \int dx $$

$$\operatorname{Arch}(y+C_{1})=  \pm x+C_{2} $$

$$y+C_{1}=  \operatorname{ch}(\pm x+C_{2}) $$

$$y=  \operatorname{ch}(\pm x+C_{2}) +C_{3}$$

У Вас:

$$y = {\mathop{\rm ch}\nolimits} (x + {C_1}) + {C_2}$$

Не могу понять, в этих двух решениях есть различие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. уравнение
Сообщение27.05.2014, 01:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
Чосинус - четная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. уравнение
Сообщение27.05.2014, 02:01 


29/08/11
1759
provincialka
Понял, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. уравнение
Сообщение22.02.2015, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7266
Hogtown
provincialka в сообщении #868249 писал(а):
Чосинус

В моём словаре шинус (sh, sinh) и кошинус (ch, cosh), и аналогично шангенс и кошангенс :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. уравнение
Сообщение22.02.2015, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
Red_Herring
Меня студенты научили, все претензии к ним. Впрочем "по вашему" мне больше нравится. Этот "чосинус" я никак произносить не могу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group