2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение24.05.2014, 20:44 


24/05/14
7
Начал читать «Теорию множеств» Бурбаки. По ходу чтения возникают некоторые вопросы. Начну с аксиоматики.
То, что аксиома пары (как и субстантивный знак пары) излишни (и исключены из издания «Теории множеств» 1970-го года), я уже знаю. Но мне кажется лишней ещё целая схема аксиом – S7:

$(\forall x)(R\Leftrightarrow S)\Rightarrow (\tau_{x}(R)=\tau_{x}(S))$

Пока я встречал лишь единственное использование этой схемы – для доказательства теоремы $(\forall x)(x=x)$. Но в теории множеств эту же теорему можно вывести из аксиомы экстенсиональности $ (\forall x)(\forall y)((x \subset y \text{ and } y \subset x) \Rightarrow x = y)$. Кроме того, если $R$ и $S$ функциональны по $x$, то $(\forall x)(R\Leftrightarrow S)\Rightarrow (\tau_{x}(R)=\tau_{x}(S))$ выводится как теорема, а случай, когда $R$ функционально по $x$, в конечном итоге, и является единственным случаем, в котором терм $\tau_{x}(R)$ имеет внятную интуитивную интерпретацию.

У меня две мысли, зачем Бурбаки вводят эту схему.
1. Возможно, они хотели полностью построить эгалитарную теорию (со всеми свойствами равенства) до того, как вводить теорию множеств со знаком принадлежности. Имея в виду, что на этой основе можно построить и какую-нибудь другую эгалитарную теорию, помимо теории множеств.
2. Как следует из Главы II, $\S$ 1, упр. 6, если вместо аксиомы экстенсиональности ввести аксиому $(\forall y)(y = \tau_{x}((\forall z)(z \in x \Leftrightarrow z \in y)))$, то в таком случае схема S7 была бы необходима. Возможно, вначале Бурбаки предполагали ввести именно такой вариант аксиомы.

Возможно, я ошибаюсь, и схема S7 ещё будет использоваться Бурбаки в дальнейшем?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение24.05.2014, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
А с какой целью читаете? Я бы посоветовал взять что-нибудь более современное. У Бурбаки своя терминология, которая особого распространения не получила (напр. эгалитарная теория - теория с равенством, субстантивный знак - функциональный символ).
Схема аксиом действительно нужна только для того, чтобы доказать $(\forall x) x = x$. Это чисто технический момент, можно просто принять $x = x$ за аксиому.

Сейчас редко встречаются изложения с оператором выбора ($\tau$ у Бурбаки), а теорию с равенством определяют аксиомами $(\forall x)x = x$ и $x = y \to F(x,x) \to F(x,y)$

-- Сб май 24, 2014 22:46:55 --

absque в сообщении #867354 писал(а):
1. Возможно, они хотели полностью построить эгалитарную теорию (со всеми свойствами равенства) до того, как вводить теорию множеств со знаком принадлежности. Имея в виду, что на этой основе можно построить и какую-нибудь другую эгалитарную теорию, помимо теории множеств.
Скорее всего, для этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение24.05.2014, 22:58 


24/05/14
7
Xaositect в сообщении #867379 писал(а):
А с какой целью читаете?
Я не математик, так что скорее для собственного удовольствия. Бурбаки мне очень понравились - всё строго доказывается, причём довольно изящно. Раньше я подобного не встречал. Ну и кроме того, хочется разобраться в основах, чтобы потом более осмысленно изучать математический анализ и топологию.
Xaositect в сообщении #867379 писал(а):
Я бы посоветовал взять что-нибудь более современное.
Думаю, я почитаю Кунена, но сначала всё же дочитаю Бурбаки.
Xaositect в сообщении #867379 писал(а):
а теорию с равенством определяют аксиомами и $x = y \to F(x,x) \to F(x,y)$
Я, кстати, заметил, что схему $T = U \Rightarrow (R$$T$$\Leftrightarrow R$$U$$)$ достаточно представить в виде $T = U \Rightarrow (R$$T$$\Rightarrow R$$U$$)$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение24.05.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1347

(Оффтоп)

absque
Есть мнение (не только моё), что подобное разбирательство в основах по Бурбакам для дальнейшего изучения матана и тополя будет, скорее, вредным.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение25.05.2014, 09:45 
Заслуженный участник


08/04/08
8370

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #867416 писал(а):
Есть мнение (не только моё), что подобное разбирательство в основах по Бурбакам для дальнейшего изучения матана и тополя будет, скорее, вредным.
+1

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение25.05.2014, 11:13 


24/05/14
7
Глава II, $\S$ 2, упр. 2
a) Показать, что соотношение $\left \{ \left \{ x \right \},\left \{ x,y \right \} \right \}=\left \{ \left \{ x' \right \},\left \{ x',y' \right \} \right \}$ эквивалентно ($x = x' $ и $y = y'$).
б) Пусть $\textit{T}_{0}$ - теория множеств, а $\textit{T}_{1}$ - теория, имеющая те же схемы и явные аксиомы, что и $\textit{T}_{0}$, за исключением аксиомы A3 - $(\forall x)(\forall x')(\forall y)(\forall y')((x,y)=(x',y') \Rightarrow (x=x' \wedge y=y'))$. Показать, что есть $\textit{T}_{1}$ непротиворечива, то и $\textit{T}_{0}$ непротиворечива [использовать а)].

а) решил, а вот с б) проблема. Более того, я мог бы привести пример такой теории $\textit{T}_{0'}$ с аксиомой A3, которая была бы противоречива, а теория $\textit{T}_{1'}$, имеющая те же схемы и явные аксиомы, что и $\textit{T}_{0'}$, за исключением аксиомы A3, - непротиворечива.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение25.05.2014, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
В условии под "$T_0$ - теория множеств" имеется в виду "$T_0$ - теория множеств, рассматриваемая в этой книге". Для решения достаточно определить терм $(x, y)$ и привести доказательство A3 из других аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение26.05.2014, 17:17 


24/05/14
7
Xaositect в сообщении #867526 писал(а):
В условии под "$T_0$ - теория множеств" имеется в виду "$T_0$ - теория множеств, рассматриваемая в этой книге". Для решения достаточно определить терм $(x, y)$ и привести доказательство A3 из других аксиом.
Вы имеете в виду представить пару $(x,y)$ в виде множества $\left \{ \left \{ x \right \},\left \{ x,y \right \} \right \}$?
В таком случае нам достаточно доказать, что если R есть теорема теории $\textit{T}_{0}$, то в таком случае R' (R, где каждая пара с субстантивным знаком заменена соответствующим множеством) есть теорема теории $\textit{T}_{1}$. Тогда, если $\textit{T}_{0}$ противоречива, то она имеет теорему теорема $(\neg A \wedge A)$, а значит $\textit{T}_{1}$ имеет теорему $(\neg A' \wedge A')$ и тоже противоречива.

Меня смутило то обстоятельство, что для строгого доказательства этого необходимо помимо A3 проанализировать каждую схему и явную аксиому теории множеств - в том числе и те, которые ещё не были рассмотрены до главы, в которой дано это упражнение.
Ведь если мы изначально решаем это упражнение с предпосылкой, что теория множеств непротиворечива, то "Показать, что если $\textit{T}_{1}$ непротиворечива, то и $\textit{T}_{0}$ непротиворечива" решается элементарно через $A \Rightarrow (B\Rightarrow A)$.

Если же нам нужно доказать, что из противоречивости $\textit{T}_{0}$ следует противоречивость $\textit{T}_{1}$, то вполне могло оказаться, что помимо аксиомы A3 в $\textit{T}_{0}$ есть какая-нибудь явная аксиома A3', из которой следует $\neg$A3. И, в отличие от аксиомы A3, если заменить пары с субстантивным знаком на множество $\left \{ \left \{ x \right \},\left \{ x,y \right \} \right \}$, то аксиома A3' не превратится в теорему.
В самом грубом случае эта A3' и могла бы представлять собой $\neg$A3, делая теорию $\textit{T}_{0}$ очевидно противоречивой, но из этого не следовала бы противоречивость $\textit{T}_{1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение26.05.2014, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Да, это все верно. Задание не очень аккуратно сформулировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение09.07.2014, 18:05 


24/05/14
7
Дочитал вторую главу и понял, что поторопился с выводами. В Главе II, $\S$ 6, п. 9 Бурбаки вводят понятие класса объектов, эквивалентных $x$ как $\tau_{y}(R)$, где $R$ есть "$y$ эквивалентно $x$". Не уверен, что в этом есть насущная необходимость, но факт в том, что Бурбаки наделяют $\tau_{x}(R)$ интуитивным смыслом отнюдь не только в случае, когда $x$ функционально по $R$.

Есть два упражнения, с которыми я не могу справиться.

Глава II, $\S$ 6, упр. 11
"...для трех попарно различных конституэнт $A$, $B$, $C$ по меньшей мере одно из множеств $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$ пусто".
Однако я могу привести контрпример. В простейшем случае, когда в $E$ есть 4 элемента ($a$, $b$, $c$, $d$), и соотношение $R$ верно только для трёх пар ($a$ и $b$, $a$ и $c$, $a$ и $d$), у нас есть 3 попарно различные конституэнты, для которых все три пересечения не пусты".

В другом упражнении - Глава II, $\S$ 5, упр. 3 - я также могу привести контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение09.07.2014, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
absque в сообщении #885818 писал(а):
Глава II, $\S$ 6, упр. 11
"...для трех попарно различных конституэнт $A$, $B$, $C$ по меньшей мере одно из множеств $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$ пусто".
Однако я могу привести контрпример. В простейшем случае, когда в $E$ есть 4 элемента ($a$, $b$, $c$, $d$), и соотношение $R$ верно только для трёх пар ($a$ и $b$, $a$ и $c$, $a$ и $d$), у нас есть 3 попарно различные конституэнты, для которых все три пересечения не пусты".
Верно. В английском издании тоже ошибка, а вот во французском написано "одно из множеств $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$ пусто или эти три множества совпадают".

absque в сообщении #885818 писал(а):
В другом упражнении - Глава II, $\S$ 5, упр. 3 - я также могу привести контрпример.
Там надо читать "$\mathfrak{F}_k$ - множество всех подмножеств $(1,n)$, содержащих $k$ элементов."

 Профиль  
                  
 
 Re: "Теория множеств" Бурбаки
Сообщение09.07.2014, 22:09 


24/05/14
7
Xaositect в сообщении #885905 писал(а):
В английском издании тоже ошибка, а вот во французском написано "одно из множеств $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$ пусто или эти три множества совпадают".

Спасибо! Тогда всё ясно!

Xaositect в сообщении #885905 писал(а):
Там надо читать "$\mathfrak{F}_k$ - множество всех подмножеств $(1,n)$, содержащих $k$ элементов."

Предполагал всё, что угодно, а такой вариант в голову не приходил. А ведь даже в английский перевод заглядывал, но не обратил внимание, что там написано "which have", а не "which has".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group