2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение23.05.2014, 13:49 


19/05/14
45
Хотелось бы на данном этапе узнать тип. Да, как вы правильно заметили, это видоизмененные уравнения Ламе из теории упругости, и поэтому почти на 100% эта система гиперболического типа. Но нигде не встречал доказательства для таких систем и хотелось бы самому получить этот результат. Возможно, как я уже писал раньше, можно с помощью индукции усовершенствовать формулы Петровского, но пока неудача.

Кстати если говорить о решении этой системы, то самый очевидный путь это нахождение переменной u3 из третьего уравнения и подставления в первые два?

P.s. u3 - это поворот. А J - соотвествующая инерционная характеристика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение23.05.2014, 15:51 
Заслуженный участник


23/07/08
7422
Харьков
trarbish в сообщении #866914 писал(а):
самый очевидный путь это нахождение переменной u3 из третьего уравнения и подставления в первые два?
Возможно, Вы правы, и лучше всего так и действовать.

Я на всякий случай покажу, что я заметил, но приведет это к чему-то полезному или нет, я не знаю.
Обозначим $\delta=\lambda+2\mu$, $\beta=\mu+\alpha$.
$\delta u_{1,11} + \beta u_{1,22} + (\delta-\beta)u_{2,12}+2\alpha u_{3,2}=\rho u_{1,33}$
$\delta u_{2,22} + \beta u_{2,11} + (\delta-\beta)u_{1,12}-2\alpha u_{3,1}=\rho u_{2,33}$

Продифференцируем первое уравнение по $x_1$, а второе по $x_2$ (кое-где изменяя порядок производных):
$\delta u_{1,111} + \beta u_{1,122} + (\delta-\beta)u_{2,211}+2\alpha u_{3,12}=\rho u_{1,133}$
$\delta u_{2,222} + \beta u_{2,211} + (\delta-\beta)u_{1,122}-2\alpha u_{3,12}=\rho u_{2,233}$
и сложим:
$\delta (u_{1,1} + u_{2,2})_{,11}+\delta(u_{1,1} + u_{2,2})_{,22}=\rho (u_{1,1}+u_{2,2})_{,33}$
Напрашивается обозначение $p=u_{1,1} + u_{2,2}$, и тогда
$\delta (p_{,11}+p_{,22})=\rho p_{,33}$
В это уравнение входит только $p$. И дифференциальный оператор, скажем так, понятный.

Теперь продифференцируем первое уравнение по $x_2$, а второе по $x_1$:
$\delta u_{1,211} + \beta u_{1,222} + (\delta-\beta)u_{2,122}+2\alpha u_{3,22}=\rho u_{1,233}$
$\delta u_{2,122} + \beta u_{2,111} + (\delta-\beta)u_{1,211}-2\alpha u_{3,11}=\rho u_{2,133}$
И вычтем из первого второе:
$\beta(u_{1,2}-u_{2,1})_{,11}+\beta(u_{1,2}-u_{2,1})_{,22}+2\alpha (u_{3,11}+u_{3,22})=\rho (u_{1,2}-u_{2,1})_{,33}$
Напрашивается обозначение $q=u_{1,2}-u_{2,1}$. Обозначим также $v=u_3$ (теперь индексы встречаются только при дифференцировании).
$\beta (q_{,11}+ q_{,22})+2\alpha (v_{,11}+v_{,22})=\rho q_{,33}$
Чуть сложнее, чем с $p$, но тоже ничего.

И третье уравнение сводится к тем же переменным $q, v$. Итого:
$\delta (p_{,11}+p_{,22})=\rho p_{,33}$
$\beta (q_{,11}+ q_{,22})+2\alpha (v_{,11}+v_{,22})=\rho q_{,33}$
$B(v_{,11}+v_{,22}) - 2\alpha (q+2v)=Jv_{,33}$

Или, чтоб совсем красиво:
$\delta \Delta p=\rho \ddot p$
$\beta \Delta q+2\alpha \Delta v=\rho \ddot q$
$B \Delta v - 2\alpha (q+2v)=J \ddot v$
(я тут предположил, что координаты $x_1,x_2$ пространственные, а $x_3$ время).

В принципе, несложно получить уравнения только для $q$ и только для $v$, хотя они будут четвертого порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение23.05.2014, 17:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5687
 i 
trarbish в сообщении #866914 писал(а):
P.s. u3 - это поворот. А J - соотвествующая инерционная характеристика.
trarbish, напоминаю, что все формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
В случае дальнейшего неоформления формул буду сносить тему/посты в Карантин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение23.05.2014, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
577
МО
trarbish
Собс-но, тип Вашей системы это какое-то классифицирование полинома
$$\begin{vmatrix}
(2 \mu + \lambda)\xi^2 + (\mu + \alpha)\eta^2 - \rho \zeta^2 & (\mu - \alpha + \lambda) \xi \eta& 0 \\
(\mu - \alpha + \lambda) \xi \eta &  (\mu + \alpha) \xi^2 + (2 \mu + \lambda) \eta^2 - \rho \zeta^2 & 0 \\
0 & 0 & B (\xi^2 + \eta^2) - J \zeta^2 
\end{vmatrix}$$
где переменные $\xi$, $\eta$, $\zeta$ соответствуют Вашим первой, второй и третьей независимой переменной.
Если вещественные нули многочлена это только $\xi = \eta = \zeta = 0$, система эллиптическая (рискну предположить - пусть опытные товарищи поправят - если многочлен даже и вещественно неприводим, то это какой-нибудь сильно эллиптический случай (здесь этого, очевидно, быть не может)).
Если, наоборот, многочлен по максимуму раскладывается на множители, это гиперболический случай. Ну и вырожденные параболические.
Как-то так.
Только в отличие от одного уравнения второго порядка или системы двух первого, здесь вариантов может быть больше, классификация не такая простая. Вот и смотрите, как фишка ложится.
Кстати, что это Вы пугали :) я и правда поверил, что общий случай ни в каком учебнике не описан. На самом деле, в Куранте это есть.

-- Пт май 23, 2014 22:29:53 --

Munin

(Оффтоп)

Уфф! Это Вы широко зачерпнули.
К сожалению, эллиптические задачи я вообще не знаю (задача Дирихле, задача Неймана, вот и все мои познания).
Ну, попытаюсь прокомментировать, исходя из.
Поставленные задачи (часть из них) представляются вполне разумными и осмысленными. Очень вероятно, что что-то из этого уже рассматривалось, но я, увы, не знаком, даже не знаю, по каким словам гуглить.
Второе общее соображение: я бы попробовал для начала прокатать все на уравнении о двух независимых переменных $\Delta u = 0$, т.к. для него все явно выписывается.
Теперь по пунктам:
1. Думаю (это моя гипотеза :), задачу для такой системы надо ставить в виде $F_j(x, u, \underset{1} u, .. , \underset{m} u) = 0$ на границе области, условий столько же, сколько зависимых функций, порядок производной каждой в условиях меньше максимального в системе. Условия вполне могут быть и нелинейными при линейной системе.
1.1. Разумная постановка задачи, но ни о каких результатах в этом направлении не слышал.
1.2. Тут непонятно. С чего бы?
2. Мне скорее кажется возможным наоборот свести задачи с ненулевыми краевыми условиями к задаче с правой частью (с дельтами) и нулевыми краевыми условиями.
3. Тут не понял. Можете привести пример такого преобразования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение23.05.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897

(Оффтоп)

пианист в сообщении #867100 писал(а):
Уфф! Это Вы широко зачерпнули.
К сожалению, эллиптические задачи я вообще не знаю (задача Дирихле, задача Неймана, вот и все мои познания).
Ну, попытаюсь прокомментировать, исходя из.
Поставленные задачи (часть из них) представляются вполне разумными и осмысленными. Очень вероятно, что что-то из этого уже рассматривалось, но я, увы, не знаком, даже не знаю, по каким словам гуглить.
Второе общее соображение: я бы попробовал для начала прокатать все на уравнении о двух независимых переменных $\Delta u = 0$, т.к. для него все явно выписывается.

Ну ладно. Значит, во-первых, я не абсолютную глупость написал (и не абсолютную букварную простоту), а во-вторых, сам я вряд ли справлюсь с этим камнем.

пианист в сообщении #867100 писал(а):
1. Думаю (это моя гипотеза :), задачу для такой системы надо ставить в виде $F_j(x, u, \underset{1} u, .. , \underset{m} u) = 0$ на границе области, условий столько же, сколько зависимых функций, порядок производной каждой в условиях меньше максимального в системе.

Красивая идея.

пианист в сообщении #867100 писал(а):
1.2. Тут непонятно. С чего бы?

Ну, это воодушевлено всякими "разделяющимися переменными" в более изученных случаях ДУЧП. Может, я и слишком нагло запросил :-)

пианист в сообщении #867100 писал(а):
2. Мне скорее кажется возможным наоборот свести задачи с ненулевыми краевыми условиями к задаче с правой частью (с дельтами) и нулевыми краевыми условиями.

Не-не-не, я не свожу задачи с дельтами к задачам с краевыми условиями. Я прошу свести задачу с произвольной правой частью к задаче с дельтами.

пианист в сообщении #867100 писал(а):
3. Тут не понял. Можете привести пример такого преобразования?

Ну, например, уравнения Максвелла - уравнения для 6 переменных (два вектора), сильно "зацепленных" друг с другом, на первый взгляд. Но их можно превратить в волновые уравнения, и тогда они "расцепятся" на независимые 6 уравнений для каждой компоненты вектора. Хм-м-м, это несколько не укладывается в мои узкие рамки...

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение25.05.2014, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
577
МО
Munin

(Оффтоп)

Цитата:
это воодушевлено всякими "разделяющимися переменными" в более изученных случаях ДУЧП

Такое разделение переменных это, по-моему, вырожденный случай.
Вы, кстати, Миллера читали? М.б., оттуда что полезное возьмете?
Цитата:
Я прошу свести задачу с произвольной правой частью к задаче с дельтами

Мне кажется, так не может быть. Правая часть задана в пространстве, а краевые условия на границе; т.е. необходимо "согнать" под ноль функцию о трех переменных, манипулируя функцией о двух.
Но это, конечно, пальцевые рассуждения, решалась ли данная задача, не знаю.
Цитата:
уравнения Максвелла - уравнения для 6 переменных (два вектора), сильно "зацепленных" друг с другом, на первый взгляд. Но их можно превратить в волновые уравнения, и тогда они "расцепятся" на независимые 6 уравнений

Боюсь, это тоже специфическое свойство именно УМ (кстати, в очередной раз пользуюсь случаем восхититься их исключительной симметричностью).

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение27.05.2014, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897

(Оффтоп)

пианист в сообщении #867534 писал(а):
Такое разделение переменных это, по-моему, вырожденный случай.
пианист в сообщении #867534 писал(а):
Боюсь, это тоже специфическое свойство именно УМ

Пессимистично. Ну что ж.

пианист в сообщении #867534 писал(а):
Вы, кстати, Миллера читали?

Нет ещё.

Уф, очередь на "почитать" простирается вперёд уже в разы дальше, чем на ожидаемое время жизни...

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение31.05.2014, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
577
МО
Munin

(Оффтоп)

Заглянуть в эту сторону все равно есть смысл. Не это, так что-то другое нароете. Тем более есть такой хороший тестовый случай, на котором все можно обкатывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение21.06.2015, 18:50 


21/06/15
2
пианист в сообщении #867100 писал(а):
trarbish
Собс-но, тип Вашей системы это какое-то классифицирование полинома
$$\begin{vmatrix}
(2 \mu + \lambda)\xi^2 + (\mu + \alpha)\eta^2 - \rho \zeta^2 & (\mu - \alpha + \lambda) \xi \eta& 0 \\
(\mu - \alpha + \lambda) \xi \eta &  (\mu + \alpha) \xi^2 + (2 \mu + \lambda) \eta^2 - \rho \zeta^2 & 0 \\
0 & 0 & B (\xi^2 + \eta^2) - J \zeta^2 
\end{vmatrix}$$
где переменные $\xi$, $\eta$, $\zeta$ соответствуют Вашим первой, второй и третьей независимой переменной.
Если вещественные нули многочлена это только $\xi = \eta = \zeta = 0$, система эллиптическая (рискну предположить - пусть опытные товарищи поправят - если многочлен даже и вещественно неприводим, то это какой-нибудь сильно эллиптический случай (здесь этого, очевидно, быть не может)).
Если, наоборот, многочлен по максимуму раскладывается на множители, это гиперболический случай. Ну и вырожденные параболические.
Как-то так.
Только в отличие от одного уравнения второго порядка или системы двух первого, здесь вариантов может быть больше, классификация не такая простая. Вот и смотрите, как фишка ложится.
Кстати, что это Вы пугали :) я и правда поверил, что общий случай ни в каком учебнике не описан. На самом деле, в Куранте это есть.


Я, видимо, занимаюсь проблемой похожей на проблему автора. Не могли бы уточнить, где Курант повествует о типах систем? В "Курсе дифференциального и интегрального исчисления"? Что-то я там не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение21.06.2015, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
577
МО
VikSolve
Курант, Гильберт. Методы математической физики. Т.2.
В сети легко найдете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений с частными производными
Сообщение24.06.2015, 16:10 


21/06/15
2
пианист
Спасибо, буду разбираться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group