2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 13:51 


19/04/14
35
$a=x^3i+y^3j+z^3k,x^2+y^2+z^2=2x,z\geqslant0$ Вначале я нашел дивергенцию $divA=3(x^2+y^2+z^2)$ и перевел в сферические координаты, пределы получились
$0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi,0 \leqslant \psi \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant 2\cos\varphi\cos\psi$ Но , полагаю, что где-то допустил ошибку

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Обратите внимание, где у вас центр сферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 18:33 


19/04/14
35
Пересчитал, похоже что $-\pi/2 \leqslant \varphi \leqslant \pi/2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не в $\varphi$ дело. Дело в том, что у вас центр сферы не в начале координат, и центр сферических координат тоже будет иметь смысл располагать не в начале координат.

-- 17.05.2014 19:39:26 --

Для начала, приведите уравнение вашей сферы в канонический вид, а?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 18:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Linkl в сообщении #864327 писал(а):
$0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi,0 \leqslant \psi \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant 2\cos\varphi\cos\psi$ Но , полагаю, что где-то допустил ошибку

Даже три: и пределы в обоих случаях не те, и зависимость не та.

Поменяйте хотя бы временно ролями переменные $x$ и $z$, чтобы сферические координаты выглядели привычнее. Когда разберётесь -- можете вернуть их обратно.

Munin в сообщении #864469 писал(а):
и центр сферических координат тоже будет иметь смысл располагать не в начале координат.

Нет смысла: и не особо поможет, и не особо нужно, работа же дополнительная.

-- Сб май 17, 2014 19:50:07 --

Linkl в сообщении #864464 писал(а):
Пересчитал, похоже что $-\pi/2 \leqslant \varphi \leqslant \pi/2$?

А, не заметил; ну одна из трёх ошибок более-менее исправлена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #864473 писал(а):
Нет смысла: и не особо поможет, и не особо нужно, работа же дополнительная.

Тогда нет смысла вообще в сферическую систему координат переходить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 19:05 


19/04/14
35
Вот как я делал: $(x-1)^2+y^2+z^2=1,
x=r\cos\varphi \cos\psi,y=r\sin\varphi\cos\psi,z=r\sin\psi$ Из неравенства $z\geqslant0$ следует , что $r\sin\psi\geqslant 0$ Откуда и брались границы для $\psi$ Далее, подставив координаты в само уравнение сферы получилось $r$ И исправил $\varphi $ т.к. $r\cos\varphi\cos\psi\geqslant 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 19:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #864479 писал(а):
Тогда нет смысла вообще в сферическую систему координат переходить.

Очень даже есть. В декартовых всё равно придётся тригонометрию задействовать, только в менее комфортных обстоятельствах.

-- Сб май 17, 2014 20:14:17 --

Linkl в сообщении #864482 писал(а):
$r\sin\psi\geqslant 0$ Откуда и брались границы для $\psi$

Вы смешали два разных определения азимутального угла: в формуле подразумевается одно из них, а в ограничениях на угол -- другое.

Linkl в сообщении #864482 писал(а):
$x=r\cos\varphi \cos\psi,y=r\sin\varphi\cos\psi,z=r\sin\psi$

Можно, конечно, и так, но это весьма неразумно. Направьте азимутальную ось по иксам.

-- Сб май 17, 2014 20:20:54 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 19:29 


19/04/14
35
Не очень понимаю, ведь неравенства останутся теми же?Только $r$ будет меняться до $2\sin\psi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение17.05.2014, 19:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Linkl в сообщении #864495 писал(а):
ведь неравенства останутся теми же?

Отнюдь. При одном определении азимутального угла ограничения (по определению) на него одни, при другом -- другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение18.05.2014, 00:58 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вот о чём, вероятно, думал составитель задачки (не рассчитывая, что её будут так решать).

Наша полусфера — верхняя ($z\geqslant 0$) половинка границы шара радиуса $1$ с центром в точке $(1,0,0)$. Если добавить к полусфере «донце» (пересечение шара с плоскостью $z=0$), поверхность станет замкнутой. Но поток поля через донце равен нулю, потому что нормальная компонента поля $(a, n)=-a_z=-z^3$ здесь нулевая. Значит, можно искать поток $\Phi$ через замкнутую поверхность «верхняя полусфера плюс донце», а он равен интегралу от дивергенции поля по верхней половине шара.

Для красоты добавим нижнюю половину шара, тогда
$\Phi=\frac 1 2\int \operatorname{div}a\;dV$,
здесь и ниже интеграл уже по всему шару.

$\operatorname{div}a=3(x^2+y^2+z^2)$, поэтому $\Phi=\frac 3 4(I_x+I_y+I_z)$, где
$\begin{matrix}I_x=\int (y^2+z^2)\;dV\\I_y=\int (z^2+x^2)\;dV\\I_z=\int (x^2+y^2)\;dV\end{matrix}$
— моменты инерции шара (единичной плотности) относительно осей $Ox, Oy, Oz$.

Центр шара лежит на оси $Ox$, поэтому $I_x$ не изменится, если центр шара переместить в начало координат: $I_x=I_{x0}$. Но центр шара не лежит на осях $Oy$ и $Oz$, он смещен относительно них на $d=1$. Тут помогает теорема Кёнига (или Штейнера?): $I=I_{0}+md^2$. Поэтому
$I_x+I_y+I_z=I_{x0}+I_{y0}+I_{z0}+2V_{\text{ш}}$

Далее, $I_{x0}+I_{y0}+I_{z0}$ — это интеграл от $2(x^2+y^2+z^2)=2r^2$, но уже по единичному шару с центром в $(0,0,0)$, т.е. очень простой интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение18.05.2014, 01:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Да можно и просто Гауссом-Остроградским, не намного сложнее. (А иначе вообще незачем считать дивергенцию).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение18.05.2014, 01:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #864637 писал(а):
Но поток поля через донце равен нулю,

Для сведения к полной сфере это не обязательно -- достаточно того, что в силу симметрии потоки по обеим полусферам одинаковы.

Однако автором этого, естественно, не загадывалось.

svv в сообщении #864637 писал(а):
Соответственно, интеграл сводится к сумме интегралов $\int (y^2+z^2) dV$ и двух аналогичных. Но это как раз моменты инерции шара (единичной плотности) относительно осей $Ox, Oy, Oz$.

А вот это -- уже откровенное извращение. Выигрыш сводится лишь к приплетению пары абсолютно некместных понятий, ну и разве что к некоторой экономии: для решения потребуется всего лишь пять строчек текста вместо трёх в тупом варианте. Конечно, пять гораздо меньше, чем три; но не так уж и намного меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение19.05.2014, 18:02 


19/04/14
35
Похоже, что поверхность незамкнута,так что Остроградским нельзя воспользоваться

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти поток поля через внешнюю сторону полусферы
Сообщение19.05.2014, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Linkl в сообщении #865231 писал(а):
Похоже, что поверхность незамкнута,так что Остроградским нельзя воспользоваться
Подумаешь! Не хочет - заставим. Тут предлагалось даже два способа сделать ее замкнутой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group