2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Линейный диффур
Сообщение15.05.2014, 00:06 


21/10/13
86
Речь идет о поиске асимптотических решений уравнения:
$zW''''+(a+b+4-z)W'''-(a+3)W''-2W'+2W=0$
при $z \to +\infty $ $z \to -\infty$ $z \to 0$
Используя преобразование Лапласа я нашел интегральное представление для этого уравнения:
$W=\int_{\gamma}{e^{zt}e^{1/t^2}t^{-a}(t-1)^{-b}dt}$
Рассмотрим сначала $z \to +\infty$:
Первый контур приходит на ум, это просто кусок вещественный оси, а именно $(-\infty,0]$
Однако еще должно быть три контура, приводящих к линейно-независимым асимптотикам и вот тут у меня возникают проблемы.
Есть идея взять контур зацепляющейся за единицу( так как 1 точка ветвления),
также есть идея в качестве контура взять окружность вокруг точки нуль, но тогда нужен еще один контур?
Правильно ли я выбрал три этих контура или нет и где искать четвертый?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейный диффур
Сообщение18.05.2014, 21:09 


21/10/13
86
Для контура суть которого полуинтервал $(-\infty,0]$ подстановка зануляется, так как ее предел при стремлении переменной по вещественной оси, есть нуль.
$F=\int_{\gamma}{\exp{(-\frac{1}{t^2})}\exp{(zt)}t^{-a}(t-1)^{-b}dt}=\int_{-\infty}^{0}{\exp{(-\frac{1}{t^2})}\exp{(zt)}t^{-a}(t-1)^{-b}dt}$
Далее делаем масштабную замену $t=\tau z^{-\frac{1}{3}}$
Имеем:
$z^{\frac{a-1}{3}}\int_{-\infty}^{0}{\exp{z^{\frac{2}{3}}((\tau-\frac{1}{\tau^2}))}\tau^{-a}(z^{-\frac{1}{3}}\tau-1)^{-b}d\tau}$
Дальше, для функции под экспонентой находим экстремум и в итоге, применяя стандартную формулу Лапласа получаем:
$F\simeq z^{\frac{a-1}{3}}\exp{(z^{\frac{2}{3}}\frac{-3}{4^{\frac{1}{3}}})(-2)^{-\frac{a}{3}}(-1)^{-b}\sqrt{\frac{2\pi 2^{\frac{1}{3}}}{3}}}z^{-\frac{1}{2}}(1+O(z^{-\frac{1}{2}}))$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group