2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несобственный интеграл, зависящий от параметров
Сообщение11.05.2014, 23:55 


27/08/13
39
Взял курсовую в универе, попался такой интеграл (надо посчитать): $$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-\alpha x^2} - e^{-\beta x^2}}{x} dx$$ Подскажите как подходить к такого рода примерам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл, зависящий от параметров
Сообщение12.05.2014, 00:02 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Или дифференцировать по параметру(ам), или интегрировать. Иногда годятся оба приема.

Эта задача быстро решается обоими, но перестановкой интегралов быстрее - меньше обосновывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл, зависящий от параметров
Сообщение12.05.2014, 00:52 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
LORDIF в сообщении #862038 писал(а):
Подскажите как подходить к такого рода примерам.

Вынести какую-то из экспонент как множитель, оставшееся в числителе выражение (вида $1-e^{\gamma \, x^2}$) разложить в ряд Маклорена, сократить то, что получится, с $x$ в знаменателе, затем превратить общий интеграл в сумму интегралов и каждый в отдельности взять (поскольку после сокращения получится нечетная функция, сделать это будет несложно). Итого результат получится в виде разложения в ряд.

Если между $\alpha$ и $\beta$ есть какое-то простое соотношение, то ряд можно будет даже как-то свернуть, хотя, если курсовая не по чистой математике, то и предыдущего шага будет достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл, зависящий от параметров
Сообщение12.05.2014, 08:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
А еще есть полезный прием, называемый формулой Фруллани.

-- 12.05.2014, 09:20 --

Грубо говоря, вместо нуля ставите $\varepsilon$, расцепляете экспоненты в разные интегралы и пробуете заменить переменную так, чтобы получилось одно и то же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group