2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Иррациональное уравнение
Сообщение08.05.2014, 23:17 
Аватара пользователя


11/01/13
292
Неожиданно столкнулся с проблемой при решении иррационального уравнения:

$\sqrt[4] {x-1,5}+\sqrt[4] {10-x}=2$


Задание размещено в разделе "Введение дополнительных переменных", но что-то я не совсем понимаю, что тут нужно ввести/заменить. Я пробовал сделать такую замену, которая бы привела к решению "в лоб", но мне кажется, что это не совсем то:

$y=\sqrt[4] {x-1,5}$


Тогда в итоге всё сведётся к:

$
\begin{cases}
4y^4-16y^3+48y^2-64y+15=0\\
2-y\geqslant0\\
y=\sqrt[4] {x-1,5}
\end{cases}
$


Наверное, решение уравнения четвёртой степени в лоб — не самый рациональный способ, но что-то другое придумать пока не удалось. Может, как-то пытаться оттолкнуться от того, что сумма выражений под корнями равна константе? Непонятно.
Если кто-то знает решение, то прошу подсказать или намекнуть на него.
Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение08.05.2014, 23:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Heart-Shaped Glasses в сообщении #860704 писал(а):
Задание размещено в разделе "Введение дополнительных переменных", но что-то я не совсем понимаю, что тут нужно ввести/заменить.

Это какой-то специфический трюк, а всех трюков, замысленных авторами, не предугадаешь. Скорее всего, предполагалось обозначить эти два корня через $u$ и $v$, к примеру. Тогда сумма этих двух новых переменных есть вполне определённое число, и сумма их четвёртых степеней аналогично. И если вычесть из суммы четвёртых степеней четвёртую степень суммы, то почти сразу получается квадратное уравнение для произведения $uv$, после чего практически всё ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение08.05.2014, 23:44 


29/09/06
4552
А Вы заметили, что Ваше уравнение $4y^4+\ldots=0$ раскладывается на множители $(2y^2-4y+1)(2y^2-4y+15)=0$? Может, прикол всего лишь в этом, или это подскажет, где прикол...

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение08.05.2014, 23:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #860710 писал(а):
А Вы заметили, что Ваше уравнение $4y^4+\ldots=0$ раскладывается на множители $(2y^2-4y+1)(2y^2-4y+15)=0$?

Боюсь, что нормальному человеку этого заметить невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение09.05.2014, 01:00 
Аватара пользователя


11/01/13
292
ewert в сообщении #860709 писал(а):
Heart-Shaped Glasses в сообщении #860704 писал(а):
Задание размещено в разделе "Введение дополнительных переменных", но что-то я не совсем понимаю, что тут нужно ввести/заменить.

Это какой-то специфический трюк, а всех трюков, замысленных авторами, не предугадаешь. Скорее всего, предполагалось обозначить эти два корня через $u$ и $v$, к примеру. Тогда сумма этих двух новых переменных есть вполне определённое число, и сумма их четвёртых степеней аналогично. И если вычесть из суммы четвёртых степеней четвёртую степень суммы, то почти сразу получается квадратное уравнение для произведения $uv$, после чего практически всё ясно.


Если я вас правильно понял, то:
Пусть $u=\sqrt[4] {x-1,5}, v=\sqrt[4] {10-x}$. Тогда:

$
\begin{cases}
u+v=2\\
u^4+v^4=8,5
\end{cases}
$


Вычитая, получаем следствие:

$u^4+v^4-(u+v)^4=8,5-2^4$


Приводя подобные:

$4u^3v+6u^2v^2+4uv^3+7,5=0$


Квадратное относительно $uv$ как-то так должно выглядеть?

$6(uv)^2+4(u^2+v^2)uv+7,5=0$


Наверное, я что-то перепутал, потому как оно, эммм, плохо решается...
Из-за этого я попробовал немного по-другому:


$u^4+v^4=(u^2+v^2)^2-2u^2v^2=((u+v)^2-2uv)^2-2u^2v^2=8,5$


Из той системы $u+v=2$, подставляю, получаю квадратное на $uv$ (как вы и говорили):

$(2^2-2uv)^2-2u^2v^2=8,5$


$2(uv)^2-16uv+7,5$


$(uv-15/2)(uv-1/2)=0$


Вот. А отсюда уже вернуться к $x$...
Спасибо за помощь!

Алексей К. в сообщении #860710 писал(а):
А Вы заметили, что Ваше уравнение $4y^4+\ldots=0$ раскладывается на множители $(2y^2-4y+1)(2y^2-4y+15)=0$? Может, прикол всего лишь в этом, или это подскажет, где прикол...

(Оффтоп)

Честно говоря, я пока не знаю, как это можно заметить (без компьютера).

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение09.05.2014, 01:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Heart-Shaped Glasses в сообщении #860727 писал(а):
Приводя подобные:

$4u^3v+6u^2v^2+4uv^3+7,5=0$


Квадратное относительно $uv$ как-то так должно выглядеть?

$6(uv)^2+4(u^2+v^2)uv+7,5=0$


Наверное, я что-то перепутал, потому как оно, эммм, плохо решается...

Ну я имел в виду совершенно напрашивающееся от этой точки соображение: ведь $(u+v)^2$ Вам тоже известно... После чего и остаётся автоматом всего лишь $uv$. Кстати, этот трюк, в отличие от введения двух переменных -- шаблонен уже абсолютно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение09.05.2014, 01:19 
Аватара пользователя


11/01/13
292
ewert
А-а, понял, странно, что там я не догадался от $u^2+v^2$ избавиться... :oops: Буду знать!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group